Les triangles semblables ~

Les triangles semblables possèdent les propriétés suivantes: - mêmes formes; - mêmes mesures d’angles homologues; - rapports des côtés homologues proportionnels. Des triangles sont semblables si et seulement si ils possèdent à la fois ces trois conditions. Les triangles semblables sont créés par des similitudes donc une ( des ) transformation(s) utilisant toujours une homothétie. Le rapport de similitude joue donc un rôle important dans ce type de figures.

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, on peut utiliser les propriétés suivantes: CCC : 3 paires de côtés homologues proportionnels; CAC : une paire d’angles homologues isométriques compris entre deux paires de côtés homologues proportionnels; AA : deux paires d’angles homologues isométriques; Examinons ce que cela veut dire !

Propriété CCC : Deux triangles possédant 3 paires de côtés homologues proportionnels sont semblables. 3 cm 4 cm 5 cm A B C 6 cm 8 cm 10 cm D E F m AB m DE = m BC m EF = m AC m DF 4 8 = 3 6 = 5 10 = 1 2 Remarque: CCC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues proportionnels.

Propriété CAC : Deux triangles possédant 1 paire d’angles homologues isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues proportionnels sont semblables. Construisons deux triangles ayant une paire d’angles homologues congrus compris entre deux paires de côtés homologues proportionnels 7,5 cm 500 12 cm D E F 8 cm 5 cm 500 A B C BAC ~ = EDF de plus m ED m AB = m FD m AC 5 7,5 = 12 8 = 3 2 Remarque: CAC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues proportionnels et le A signifie une paire d’angles homologues isométriques.

On ne pourrait donc pas fermer les triangles autrement. Propriété AA: Deux triangles possédant au moins deux paires d’angles homologues isométriques sont semblables. Construisons deux triangles ayant deux paires d’angles homologues isométriques. 700 500 700 500 On ne pourrait donc pas fermer les triangles autrement. Remarque: Pour démontrer que cette propriété assure des triangles semblables, il n’est pas nécessaire de démontrer la 3e paire d’angles homologues isométriques puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800. Il est donc certain que cette 3e paire d’angles homologues sont isométriques.

Problèmes: Démontre que les triangles suivants sont semblables. A B D C Le ∆ ABC et le ∆ BDC . Affirmations Justifications 1) m ABC = 900 et m BDC = 900 Les triangles sont rectangles. 1) 2) m BCD = m BCA Il est commun aux deux triangles . 2) ∆ ABC ~ ∆ BDC 3) 3) AA

∆ ECD ~ ∆ ACB Démontre que les triangles suivants sont semblables. E D 5,2 4,2 3 7,28 Le ∆ ECD et le ∆ ACB . Affirmations Justifications 1) m CA m CD = m CB m CE 5,2 4,2 3 = 7,28 = 1,4 1) 2) m ECD = m ACB Angles opposés par le sommet . 2) 3) ∆ ECD ~ ∆ ACB 3) CAC

∆ ADC ~ ∆ ABC . Démontre que les triangles suivants sont semblables. D Le ∆ ADC et le ∆ ABC . 10,625 7,5 A 6 C 4,8 8,5 B Affirmations Justifications m AD m BC = m DC m AC = m AC m AB 10,625 8,5 = 7,5 6 = 6 4,8 = 1) 1) 1,25 2) ∆ ADC ~ ∆ ABC . 2) CCC

∆ AED ~ ∆ ACB Démontre que les triangles suivants sont semblables. A B Le ∆ AED et le ∆ ACB . Affirmations Justifications 1) m ACB = 900 et m AED = 900 Les triangles sont rectangles. 1) 2) m A = m A Il est commun aux deux triangles . 2) ∆ AED ~ ∆ ACB 3) 3) AA

∆ ABC ~ ∆ ACD . Démontre que les triangles suivants sont semblables. A 16 12 15 Le ∆ ABC et le ∆ ACD . 20 Affirmations Justifications 1) m AC = 20 1) m AC = ( m AB )2 + ( m CB )2 2) m ABC = 900 et m ACD = 900 Les triangles sont rectangles. 2) m AC m AB = m DC m CB 3) 3) 12 20 16 = 15 = 1,25 4) ∆ ABC ~ ∆ ACD . 4) CAC

S A P D B 18 9 15 Dans la figure suivante, les triangles SAP et BDP sont semblables. Détermine les mesures des segments AP et PD. Posons les expressions algébriques pour représenter les segments AP et PD x (18 – x) Établissons les rapports des segments homologues: m SA m BD m AP m PD = 9 15 x (18 – x) = 9 (18 – x) = 15x 162 – 9x = 15x 162 = 24x 6,75 = x m AP = 6,75 m PD = 18 - 6,75 = 11,25