Inéquations du second degré à deux variables Remarque : Tu devrais visionner : - Inéquations du premier degré à deux variables.ppt; - La fonction quadratique : zéros de fonction.ppt; - La fonction quadratique : sommet, axe de symétrie, extrémum, ordonnée à l’origine.ppt; avant de regarder cette présentation.

Inéquations du second degré à deux variables. y x y x y x y x

Inéquation du second degré à deux variables Une solution d’une inéquation du second degré à deux variables correspond à un couple de valeurs qui vérifient cette inéquation. L’ensemble des couples qui vérifient une inéquation du second degré à deux variables est appelé l’ensemble-solution. Exemple : Voici un carré et un rectangle dont certaines dimensions sont données par des expressions algébriques. (x – 4) y 2 On aimerait connaître pour quelles valeurs de x et de y, l’aire du carré est inférieure à celle du rectangle.

x2 – 8x + 16 (x – 4) y 2 Il existe plusieurs solutions possibles. En déterminant les expressions algébriques représentant les aires de chaque figure : Aire du carré : C2 = (x – 4)2 = (x – 4) (x – 4) = x2 – 8x + 16 Aire du rectangle : L X l = y X 2 = 2y et en posant l’inéquation : Aire du carré < aire du rectangle x2 – 8x + 16 2y < Déterminons quelques couples.

x2 – 8x + 16 x2 – 8x + 16 < 2y Pour (5 , 1) : 25 – 40 + 16 < 2 41 – 40 < 2 1 < 2 Vrai. x2 – 8x + 16 < 2y Pour (6 , 3) : 62 – 8 X 6 + 16 < 2 X 3 36 – 48 + 16 < 6 52 – 48 < 6 4 < 6 Vrai.

x2 – 8x + 16 x2 – 8x + 16 < 2y Pour (7 , 5) : 49 – 56 + 16 < 10 65 – 56 < 10 9 < 10 Vrai. Il existe encore beaucoup de solutions possibles. x2 – 8x + 16 < 2y Pour (9 , 1) : 92 – 8 X 9 + 16 < 2 X 1 81 – 72 + 16 < 2 97 – 72 < 2 15 < 2 Faux; à rejeter. Certains couples ne sont donc pas solutions de l’inéquation.

Comme il existe une infinité de solutions possibles, il est préférable de représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du second degré à deux variables dans un plan cartésien. Démarche : 2 1 y x 1) Tracer une esquisse de l’équation : x2 – 8x + 16 = 2y 1.1 Ramener l’équation égale à y : x2 – 8x + 16 = 2y 2 0,5x2 – 4x + 8 = y 0,5x2 – 4x + 8 y =

1) Tracer une esquisse de l’équation : Comme il existe une infinité de solutions possibles, il est préférable de représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du second degré à deux variables dans un plan cartésien. Démarche : 2 1 y x 1) Tracer une esquisse de l’équation : 0,5x2 – 4x + 8 y = 1.2 Déterminer les coordonnées : - du sommet : 2a - b 4ac – b2 4a , ( 4 , 0 ) - des abscisses à l’origine : Pour plus de précision, on pourrait aussi déterminer l’ordonnée à l’origine : 2a b2 – 4ac + - - b 8 4

1.3 Tracer la courbe frontière. 0,5x2 – 4x + 8 y > 2 1 y x Sommet (4 , 0) Abscisse à l’origine : 4 Ordonnée à l’origine : 8 1.3 Tracer la courbe frontière. La courbe doit être en pointillée, car 0,5x2 – 4x + 8 y > 2) Déterminer un couple qui vérifie l’inéquation : 0,5x2 – 4x + 8 y > Pour (6 , 4) : 4 > 0,5 X 62 – 4 X 6 + 8 4 > 0,5 X 36 – 4 X 6 + 8 4 > 18 – 4 X 6 + 8 4 > 26 - 24 4 > 2 Vrai, donc

Les calculs sont alors plus simples. 0,5x2 – 4x + 8 y > 2 1 y x Rappel Lorsque la courbe ne passe pas par l’origine du plan cartésien, on peut utiliser les coordonnées de l’origine pour vérifier l’inéquation. 0,5x2 – 4x + 8 y > Pour (0 , 0) : 0 > 0 X 02 – 4 X 0 + 8 0 > 8 Faux, donc Les calculs sont alors plus simples.

Le problème n’est pas terminé. Attention 2 1 y x Le problème n’est pas terminé. Il faut respecter le contexte. ( x – 4 ) y 2 Il faut enlever les valeurs négatives de x et y, car les expressions algébriques ne peuvent être négatives (contexte géométrique). Il faut également enlever les couples dans lesquels les valeurs de x sont comprises entre 0 inclus et 4 inclus, car les valeurs du binôme ne peuvent être négatives ou nulle (contexte géométrique). Exemples : (0 , 10) , (1 , 8) , (3 , 4) , (4 , 5) , etc. Donc, x doit être plus grand que 4 ( x > 4 ). L’ensemble-solution doit tenir compte du contexte. Il faut donc bien saisir la donnée du problème.