Cos (1800 – θ) = - cos θ
θ θ θ C B A b a c Soit un triangle obtusangle. D h Construisons la hauteur CD (h). Construisons le segment BD perpendiculaire au segment CD (1800– ) θ θ et posons x pour représenter la mesure de ce segment. x Posons θ pour représenter la mesure de l’angle CBD. Posons (1800 - ) pour représenter la mesure de l’angle CBA. θ Dans le triangle CDB, on a : h2 = a2 – x2 Dans le triangle CDA, on a : h2 = b2 – ( c + x )2 Établissons le système : a2 – x2 = b2 – (c + x)2
θ D h C B A b a c x (1800– ) Développons : a2 - x2 = b2 - (c + x)2 (1800– ) Développons : a2 - x2 = b2 - (c + x)2 a2 - x2 = b2 - (c2 + 2cx + x2) a2 - x2 = b2 - c2 - 2cx - x2 a2 = b2 - c2 - 2cx - b2 = - a2 - c2 - 2cx -1 (- b2) = -1 (- a2 - c2 - 2cx) b2 = a2 + c2 + 2cx cos θ = x a Dans le triangle CDB, on a : a cos θ = x Dans l’expression b2 = a2 + c2 + 2cx , remplaçons x par a cos θ. Nous obtenons : b2 = a2 + c2 + 2ca cos θ
θ D h C B A b a c x (1800– ) b2 = a2 + c2 + 2ca cos θ (1800– ) b2 = a2 + c2 + 2ca cos θ Dans le triangle CBA, on a : b2 = a2 + c2 - 2ac cos (1800 - θ) ( loi des cosinus ) Si b2 = a2 + c2 + 2ac cos θ et que b2 = a2 + c2 - 2ac cos (1800 – θ) Alors, a2 + c2 - 2ac cos (1800 – θ) = a2 + c2 + 2ac cos θ - a2 - c2 - 2ac cos (1800 – θ) = 2ac cos θ - 2ac cos (1800 – θ) = - cos θ