Modélisation de la formation de bancs de poissons C. Accolla, J.C. Poggiale, O. Maury

Schooling Phénomène macroscopique: distribution non homogène des organismes pélagiques (poissons) Au niveau de l’individu : processus complexes d’auto-organisation et interactions avec l’environnement (forçages intrinsèques et extrinsèques) ; seuil de densité Conséquences importantes sur la prédation Impact au niveau de l’écosystème

Problématique But : partir d’un phénomène gouverné par des processus à petite échelle (individu) pour inférer des conclusions à grande échelle (écosystème)

Petite échelle Dynamique au niveau de l’individu : IBM (Individual Based Model) grande quantité d’information facile à simuler; résultats visuels réalistes émergence de propriétés au niveau de la population manque de protocole rigoureux pour extraire et justifier des conclusions au niveau de la population LA STOCACISTITà!!!!!!

PDE (Partial Differential Equation) Grande échelle Dynamique au niveau de la population : équations d’advection - diffusion PDE (Partial Differential Equation) description de la densité de population : intégration de la variabilité individuelle méthode d’analyse standardisée on peut extraire des conclusions et les justifier (mécaniste)

Comment exploiter les avantages des modèles individus-centrés d’une façon rigoureuse? Méthode utilisée Écrire le modèle individu-centré (IBM) Écrire des équations différentielles stochastiques (SDE) associées à l’IBM : temps continu Obtenir les équations aux dérivés partielles (PDE) de la densité de population : nombre d’individus (N) tend vers l’infini

1) Modèle Individu-Centré Simulation du mouvement de N poissons Forçages : présence d’un gradient de nourriture mouvements browniens Gradient de nourriture : Fonction qui représente la nourriture : h(x) x

1) Modèle Individu-Centré Vitesse proportionnelle au gradient Mouvements browniens multipliés par une fonction décroissante du gradient

Moyenne de 200 simulations IBM à t = 0 et à t = tmax Conditions initiales (t = 0) Moyenne IBM Distribution finale (t = tmax) Moyenne IBM

2) Équations différentielles stochastiques IBM : discrétisation d’un ensemble d’équations différentielles stochastiques On passe en temps continu :

3) Équation au niveau populationnel (PDE) On prend la limite pour et on effectue des calculs d’intégration pour obtenir: où représente la densité des individus, avec: équation qui représente la population on peut étudier rigoureusement l’évolution au cours du temps elle est liée a l’IBM précédent

Distributions à t = 0 et à T = tmax Conditions initiales (t = 0) Distribution finale (t = tmax) x

Comparaison pour différents temps Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps t = T/8 Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps t = T/4 Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps t = T/2 Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps t = 3/4 T Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps t = 7/8 T Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps t = T Moyenne IBM

Conclusions Comparaison graphiques montre une bonne superposition : bonne méthode pour passer d’une description individu centré à une au niveau populationnel Autres méthodes Perspectives : facteurs intrinsèques interactions proie/prédateur gestion pêche

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