Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM EST de Guelmim Maroc Statistique Descriptive Chapitre 1 : Les tableaux et représentations graphiques Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM EST de Guelmim Maroc Site internet : http://el-mouatasim.webs.com

Statistiques descriptives à une variable : représentations Objectifs de ce module Savoir décrire et représenter une série statistique par un tableau et un ou plusieurs graphiques adaptés. On fera des choix des représentations différents selon la nature du caractère.

Introduction La représentation tabulaire est préalable à toute analyse statistique. Elle fait suite au travail préliminaire de collecte des données. La représentation graphique d’un seul caractère repose sur une règle de proportionnalité des hauteurs ou aires des graphiques aux effectifs (ou fréquences). Le choix d’un type de graphique dépendra de la nature du caractère étudié. Les graphiques de ce module ont été effectués avec Excel. Et ça n’a pas toujours été très facile… L’étudiant est invité à consulter la page http://www.astro.ulg.ac.be/cours/magain/stat/stat25.html où il verra les « pièges » des graphiques statistiques.

Plan du chapitre 1 Caractères qualitatifs. Voici les parties que nous allons aborder : Caractères qualitatifs. Caractères quantitatifs discrets. Caractères quantitatifs continus.

Plan de la partie Représentation tabulaire. Diagramme à bande. Ⅰ. Caractères qualitatifs Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Représentation tabulaire. Diagramme à bande. Diagramme circulaire.

1. Représentation tabulaire Ⅰ. Caractères qualitatifs 1. Représentation tabulaire Tableau à simple entrée, sans hiérarchie (sauf si le caractère est ordinal). La première colonne renseigne les modalités et les deux suivantes les effectifs et fréquences. Si le caractère est ordinal, on pourra rajouter une dernière colonne avec les fréquences cumulées.

1. Représentation tabulaire Ⅰ. Caractères qualitatifs 1. Représentation tabulaire Exemple: On a noté la situation familiale des 150 employés d'une entreprise.

On ne s'intéresse pas à la situation personnelle de M. Azim ou de M On ne s'intéresse pas à la situation personnelle de M. Azim ou de M. Farid, mais à la répartition du caractère "situation familiale" dans la population des 150 employés. Pour cela il faut, pour chacune des modalités de la variable, déterminer l'effectif correspondant, c'est-à-dire le nombre de personnes ayant cette modalité : il faut dénombrer le nombre de célibataires, le nombre de mariés, etc..

Cela peut se résumer par :

On notera x1, x2,. , xk les différentes modalités, et n1, n2, On notera x1, x2, ..., xk les différentes modalités, et n1, n2, ... , nk les effectifs associés. Dans le tableau ci-dessus, x1 = "marié", n1 = k = La somme des effectifs vaut : La variable que nous venons de voir est…

On aurait pu tout aussi bien présenter les résultats sous la forme ci-dessus, par exemple.

Par contre, s'il s'agit d'une variable ordinale, les modalités sont toujours présentées dans l'ordre : x1 < x2 < .... < xk , comme dans l'exemple ci-dessous.

L'ensemble des couples { (xi , ni ), i = 1, ... , k } est une série statistique (ordonnée), ou distribution observée de la variable. La somme de tous les ni est-elle toujours égale à n, nombre des observations ? On notera ceci : effectif total

On appellera fréquence relative la valeur que l'on peut aussi exprimer en pourcentage par fi x 100, c'est le pourcentage d'individus pour lesquels la variable a pris la valeur xi.

Complétez le tableau : A quoi est égal ici le total de la colonne fréquence ? Et celui de la colonne "pourcentage" ? Il y a, parmi les 150 employés, …….% qui sont mariés.

Ⅰ. Caractères qualitatifs 2. Diagramme à bandes Aussi appelé représentation par « tuyaux d’orgue ». Les modalités sont placées sur un axe horizontal. Les effectifs (ou fréquences) sont placés sur un axe vertical. La hauteur de chaque tuyau est proportionnelle à l’effectif correspondant. Permet de comparer d’un « coup d’œil » les différentes modalités. Le diagramme à bandes fait partie de la famille des diagrammes différentiels, c’est-à-dire qu’il met en évidence les différences d’effectifs entre les modalités.

Ⅰ. Caractères qualitatifs 3. Diagramme circulaire L’aire, et donc l’angle au centre d’un secteur, est proportionnelle à la fréquence (ou l’effectif) de la modalité considérée (d’où un angle de fi x 360° pour la modalité i). Permet de bien visualiser la part relative de chaque modalité. Si l’on veut comparer plusieurs diagrammes circulaires entre eux, les rayons de chaque diagramme doivent être proportionnels à la racine carrée de l’effectif total de la série qu’ils représentent. Ainsi l’aire de chacun des disques sera proportionnelle à l’effectif total de la série considérée. C’est le cas d’études sur plusieurs années par exemple.

Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets Statistiques descriptives à une variable : représentations Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets

Plan de la partie Représentation tabulaire. Diagramme bâton. Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Représentation tabulaire. Diagramme bâton. Courbe des fréquences cumulées.

1. Représentation tabulaire Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets 1. Représentation tabulaire Tableau à simple entrée, où les données sont classées par ordre croissant. La première colonne renseigne les différentes valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences et fréquences cumulées.

De même, pour une variable discrète, on notera x1 , x2 , De même, pour une variable discrète, on notera x1 , x2 , ... , xk les valeurs rangées par ordre croissant, et n1 , n2 , ... , nk les effectifs correspondants.

Ainsi, à partir de la série brute ci-dessus, construisez le tableau :

Voyons un autre exemple : Pour étudier les appels téléphoniques arrivant à un central, on a noté, sur 96 jours comparables, le nombre d'appels reçus entre 9 h et 9 h 10. Les résultats sont consignés dans ce tableau :

Quelle est la proportion de jours où le nombre d'appels a été de 2 ?

Quelle est la proportion de jours où le nombre d'appels a été supérieur ou égale à 3?

Combien y-a-t-il eu de jours où le nombre d'appels a été inférieur ou égal à 2 ?

Plus généralement, si { (xi , ni ), i = 1, ..., K } est la distribution observée d'une variable discrète, n1 + n2 + ... + ni = Ni est le nombre d'individus pour lesquels la variable a été inférieure ou égale à xi.. On peut calculer Ni de proche en proche : N1 = n1, N2 = N1 + n2, N3 = N2 + n3, etc ... Les Ni sont les effectifs cumulés croissants.

De même ni + ni+1 + ... + nk = N'i est le nombre d'individus pour lesquels la variable a été supérieure ou égale à xi. Il peut se calculer de proche en proche : N'k = nk , N'k-1 = nk + nk-1 , Les N'i sont les effectifs cumulés décroissants.

On peut définir de même : Fi = f1 + f2 + ... + fi , fréquences relative cumulées croissantes obtenues de proche en proche par Fi+1 = fi+1 + Fi F'i = fi + fi+1 + ... + fk , fréquences relative cumulées décroissantes obtenues de proche en proche par F'i = F'i+1 + fi Fi et F'i peuvent s'exprimer aussi en pourcentage (en multipliant tout par 100).

Complétez le tableau :

Diagramme bâton des effectifs Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets 2. Diagramme bâton Diagramme bâton des effectifs A chaque valeur du caractère portée en abscisse, on associe un « bâton » vertical dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif. Cette représentation permet de comparer les effectifs de chaque valeur du caractère. C’est un diagramme différentiel.

3. Courbe des fréquences cumulées Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets 3. Courbe des fréquences cumulées Représente l’évolution des fréquences cumulées. Le caractère étant discret, la courbe est en « escalier ». En effet, les valeurs étant séparées, entre chacune d’elle la fréquence cumulée est inchangée, d’où ces paliers. On dit qu’un tel graphique est de type intégral ou cumulatif.

3. Courbe des fréquences cumulées Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets 3. Courbe des fréquences cumulées Ce type de graphique n’est pas standard pour Excel…

Ⅲ. Caractères quantitatifs continus Statistiques descriptives à une variable : représentations Ⅲ. Caractères quantitatifs continus

Plan de la partie Représentation tabulaire. Ⅲ. Caractères quantitatifs continus Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Représentation tabulaire. Histogramme des densités de fréquence. Polygone de fréquences Courbe des fréquences cumulées.

1. Représentation tabulaire Ⅲ. Caractères quantitatifs continus 1. Représentation tabulaire Tableau à simple entrée, où les classes de données sont triées par ordre croissant. La première colonne renseigne les différentes classes de valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences relatifs et fréquences cumulées. Si les classes ne sont pas toutes de même amplitude, on rajoute une colonne contenant les densités de fréquence, i.e. la fréquence de la classe divisée par son amplitude. Comparer des densités de fréquence est plus « juste » que de comparer des fréquences dans le cas de classes d’amplitude différentes. En effet si une classe a une très forte amplitude, on peut s’attendre à ce qu’elle ait également une forte fréquence.

1. Représentation tabulaire Lorsque la variable est continue, ou que la variable peut prendre un grand nombre de valeurs différentes, même si celle-ci est une variable discrète, il convient de regrouper ces valeurs en classes. À chaque classe on fait correspondre une fréquence ou une fréquence relative, et l’on obtient alors une distribution de fréquence ou de fréquence relative pour valeurs groupées. Pour construire une distribution de fréquence, de fréquence relative ou de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées on doit procéder de la manière suivante : Déterminer le nombre de classes Déterminer l’amplitude des classes Déterminer les différentes classes

1. Représentation tabulaire Déterminer le nombre de classes : 1) (règle de Sturges) 2) Nombre d’observations dans la série statistique

1. Représentation tabulaire Calculer l’amplitude des classes : D’une façon plus ou moins arbitraire En utilisant l’étendue (Plus grande valeur de la série statistique – Plus petite valeur de la série statistique) Des classes d’amplitudes égales

1. Représentation tabulaire Déterminer les différentes classes :

Représentation tabulaire Exemple 1 Voyons l'exemple d'une série brute de 60 valeurs du CA mensuelle d’une entreprise (en 1000dh), et le tableau des effectifs obtenus. L'inconvénient est que, comme on aura toujours un grand nombre de valeurs différentes, on obtiendra un grand nombre de petits effectifs, ne résumant finalement pas grande chose !

Une variable continue ne prend pas des valeurs isolées, mais des valeurs appartenant à des intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir des effectifs par valeurs, on définira des effectifs par intervalles, appelés classes.

Afin de simplifier la présentation on peut, quitte à perdre un peu d'information, regrouper les effectifs proches, par exemple 175 d’ effectif 1 176 d’ effectif 2 177 d’ effectif 1 peut être remplacé par [ 175 ; 178 [ d’ effectif 4.

On découpera ainsi l'intervalle des valeurs en classes contiguës, de la forme : [ e1 ; e2 [    [ e2 ; e3 [    [ e3 ; e4 [ .... [ ek ; ek+1 [ et on notera n1, n2, ... , nk les effectifs associés. ni est le nombre d'individus appartenant à la classe [ ei ; ei+1 [.

Exemple 1

Exemple 1

Quel que soit le type de variable on a finalement, pour toute modalité, valeur xi , ou classe [ ei , ei+1 [, un effectif ni , tel que Il est parfois utile, surtout pour faire des comparaisons entre plusieurs séries, de raisonner plutôt avec des fréquences relatifs.

Les définitions d'effectifs et de fréquences cumulés restent les mêmes dans le cas d'une variable continue.

Exemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) Pour les trois dernières années, le débit mensuel moyen d'une rivière, exprimé en milliers de mètres cubes par seconde, a été le suivant : Posons X = la variable statistique représentant le débit mensuel moyen d’une rivière. Variable continue

Exemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) (1) Nombre de classes : D Débit (2) L’amplitude des classes : (3) Détermination des classes :

Exemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) Distribution de fréquence, de fréquence relative et de fréquence relative cumulée :

2. Histogramme des densités de fréquence. Ⅲ. Caractères quantitatifs continus 2. Histogramme des densités de fréquence. Ensemble de rectangles contigus. Pour chaque classe on trace un rectangle : de base B proportionnelle à l’amplitude de la classe de hauteur h proportionnelle à la densité de fréquence de la classe L’aire du rectangle sera alors proportionnelle à la fréquence de la classe.

2. Histogramme des densités de fréquence. Ⅲ. Caractères quantitatifs continus 2. Histogramme des densités de fréquence. Double interprétation : On comparera les densités de fréquence des classes en comparant les hauteurs des rectangles. On comparera les fréquences des classes en comparant les aires des rectangles. C’est un graphique de type différentiel.

Nombre de personnes dans cette tranche d'âge Age (ans) Nombre de personnes dans cette tranche d'âge 20 à 30 100 30 à 40 150 40 à 50 90 50 à 65 20

Histogramme de fréquence pour valeurs groupées (exemple 2)

Histogramme de fréquence relative pour valeurs groupées (exemple 2)

3. Polygone de fréquences pour valeurs groupées (exemple 2)

3. Polygone de fréquence relative pour valeurs groupées

4. Courbe des fréquences cumulées Ⅲ. Caractères quantitatifs continus 4. Courbe des fréquences cumulées Représente l’évolution des fréquences cumulées. Le caractère étant continu, la courbe l’est également. Pour la construire, on joint les points de coordonnées (bi,Fi) où bi désigne l’extrémité supérieure de la ième classe. On émet implicitement l’hypothèse que la répartition des valeurs dans chaque classe est uniforme.

Ogive de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées

Synthèse En plus des tableaux et graphiques, on résume l'observation d'une variable quantitative par un petit nombre de paramètres.