La théorie du portefeuille Philippe Bernard Master Ingénierie Economique Département d’Economie Appliquée Université Paris Dauphine

Historiquement L’optimisation moyenne / variance développée par le prix Nobel Harry Nobel Laureate Harry Markowitz in 1952 « Portfolio Selection », Journal of Finance vol.7, pp. 77-91 Portfolio Selection : Efficient Diversification of Investments, 1959

Description une technique opérationnelle pour obtenir des portefeuilles diversifiés En arbitrant entre le rendement moyen et le risque de marché induit (volatilité du rendement du portefeuille)

Les inputs : les rendements espérés des titres leurs volatilités les covariances L’estimation : souvent sur données historiques

Présentation formelle Cadre et notations: J actifs indicés j=1,…,J résumés par le rendement espéré la volatilité (= écart-type) la matrice de covariance

Un portefeuille est défini par les parts des titres qui le composent part du titre j portefeuille :

portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio) sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire

Le programme d’optimisation

Les conditions marginales Pour tout titre j Avec :

Conséquences La frontière des portefeuilles quelques exemples

Conséquences (suite) Le théorème des deux fonds à la Fischer Black (1972) Une base de deux portefeuilles (au sens stricte) Portefeuille de variance minimale Portefeuille maximisant le ratio de Sharpe

Le portefeuille de variance minimale Le portefeuille maximisant le ratio de Sharpe

Le portefeuille optimal comme combinaison des deux portefeuilles de la base :

Remarque : Les deux portefeuilles proposés définissent une des bases possibles donnant les portefeuilles efficients. De même qu’en mathématiques, il existe une infinité de base vectorielles « équivalentes », dans la théorie il existe une infinité de couples de portefeuilles permettant d’obtenir l’ensemble des portefeuilles efficients.

Les limites de la théorie du portefeuille Les restrictions sur les préférences l’importance des moments supérieures à 2 pour certains secteurs (hedge funds) Le problème de l’extension à la dynamique le modèle de Merton (1973)

Les limites de la théorie du portefeuille (suite) Le problème essentiel pour les praticiens : la sensibilité du choix optimal aux inputs la concentration des portefeuilles obtenus par une estimation sur données historiques solutions : Black & Litterman, Michaud et le boostrap, etc.

Extensions de la théorie du portefeuille Les portefeuilles caractéristiques de Grinold & Kahn Grinold & Kahn (2000) « Active portfolio management », 2nd édition, 2000, McGraw Hill Grinold et Kahn ont été longtemps membres de l’équipe de recherche de BARRA, le leader mondial des modèles de risque