STT-3220 Méthodes de prévision Section 4 Lissage exponentiel double Version: 27 février 2008

Motivations pour le lissage exponentiel double Le modèle dans le cas du lissage simple est: L’idée du lissage exponentiel double est de considérer un modèle permettant de modéliser des changements dans le temps, en incorporant un terme de pente: STT-3220; Méthodes de prévision

Modèle pour le lissage exponentiel double Comme dans un lissage exponentiel simple, on fait appel à la technique des moindres carrés généralisés. On écrit le modèle comme: Avec: et STT-3220; Méthodes de prévision

Estimation par moindres carrés généralisés Le critère des moindres carrés généralisés est: L’estimateur GLS est: STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Matrice Fn La matrice Fn est: et STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Vecteur On a que: STT-3220; Méthodes de prévision

Lissages d’ordre supérieur Pour le lissage simple, la formule récursive prend la forme: Pour le lissage double, des formules récursives peuvent aussi être développées: STT-3220; Méthodes de prévision

Expression de en fonction de et On remarque que: On « plugge » ces expressions dans (voir acétate 6) et on a: STT-3220; Méthodes de prévision

Calculs des prévisions Les prévisions sont: STT-3220; Méthodes de prévision

Mises à jour des prévisions Il peut être montré que la formule des mises à jour satisfait: STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Méthode de Holt On considère le modèle: Pour estimer , il est naturel de considérer une combinaison linéaire entre zn+1 et : Pour la pente, on considère la combinaison linéaire: STT-3220; Méthodes de prévision

Mise en œuvre du lissage exponentiel double On rappelle: Formules récursives: Donc besoin de et . On rappelle les relations: Donc: STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Mise en œuvre (suite) Pour trouver , on ajuste le modèle: On vérifie que l’on obtient les estimateurs: On trouve donc STT-3220; Méthodes de prévision

Choix de la constante de lissage Comme pour le lissage simple: Si dans le lissage simple: Si dans le lissage double: STT-3220; Méthodes de prévision

Construction des intervalles de prévision dans le lissage double On peut vérifier que: Comme dans le lissage simple: STT-3220; Méthodes de prévision

Intervalle de prévision Comme dans le lissage simple: STT-3220; Méthodes de prévision