Différentielle et taux de variation Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Dans cette présentation, nous verrons : • comment utiliser la différentielle pour estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x]. • comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x]. • comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une équation différentielle.

Exemple 1.3.1 Une automobile roule à 90 km/h. Temps (h) v(t) Vitesse (km/h) t Une automobile roule à 90 km/h. Estimer la distance parcourue par l’automobile au cours des quinze prochaines minutes. ∆s = 22,5 km ∆s ∆t = 90 km/h ∆s ∆t ∆s = 90 km/h ´∆t = 90 km/h ´0,25 h = 22,5 km s(t) Position (km) t ∆s ∆t a = = 90 km/h La distance parcourue au cours des quinze prochaines minutes est donc estimée à 22,5 km. ∆s = 22,5 km On a implicitement fait une hypothèse, on a considéré que la vitesse resterait constante pendant ce quart d’heure. Est-ce toujours le cas? ∆t S

Discussion Considérons le taux de 90 km/h comme un taux de variation instantané, soit : ds dt = 90 km/h Si le taux de variation diminue durant l’intervalle considéré, la variation ∆s est plus petite que l’estimation ds qui en est faite. Si le taux de variation augmente durant l’intervalle considéré, la variation ∆s est plus grande que l’estimation ds qui en est faite. Rappelons la définition de différentielle. S S

Différentielle dy|c = f '(c)dx DÉFINITION Différentielle Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle différentielle de f en ce point la fonction définie par : dy|c = f '(c)dx où dx représente une variation de la variable indépendante. La différentielle en un point (x; f(x)) quelconque est définie par : dy = f '(x)dx Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique Interprétons la différentielle à partir y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x). f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la largeur de l’intervalle [c; c+∆x]. Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x]. Par conséquent, la différentielle : dy |c = f '(c) dx est une valeur approchée de l’aire sous la courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x]. La différentielle donne une estimation de : • la variation de la fonction y = f(x) dans l’intervalle [c; c+∆x]; • l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x]. S

Exemple 1.3.2 S S Soit la fonction définie par f (x) = ln x. a) Estimer la variation de la fonction dans l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphi-quement la valeur calculée. dy |1 = f '(1) dx = 1 ´ 0,5 = 0,5 u b) Estimer l’aire sous la courbe de la fonction dérivée dans l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée. dy |1 = f '(1) dx = 1 ´ 0,5 = 0,5 u2 La différentielle donne : • une estimation de la variation de la fonction, • une estimation de l’aire sous la courbe de la fonction dérivée. S S

Équation différentielle DÉFINITION Équation différentielle On appelle équation différentielle toute équation comportant des variables et des dérivées (ou des différentielles). Un réservoir est muni d’un dispositif électronique de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de 1 m3/min durant une minute puis il diminue selon le modèle : où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après quatre minutes. L’équation différentielle de cette situation est :

Exemple 1.3.4 Estimer le volume de liquide lorsque le système s’arrête et esquisser le graphique du volume de liquide dans le réservoir. On doit estimer l’aire sous la courbe du débit. Considérons que le débit est constant sur des intervalles de 30 s et calculons l’aire des rectangles. V(0) = 1 m3 V(1) = 2 m3 (4; 3,593) V(2) = 2,5 m3 + 0,33... m3 = 2,83... m3 V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3 S S

Conclusion On peut utiliser la différentielle pour : • estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x]. • estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x]. • résoudre une équation différentielle par une méthode numérique.