Méthodes de prévision (STT-3220) Section 6 Classe des modèles ARMA Version: 16 décembre 2008

Classe des processus ARMA(p,q) Soit le processus tel que et supposons que . Le processus est autorégressif moyenne mobile d’ordre (p,q) s’il satisfait la relation: Le processus est un bruit blanc Les paramètres sont des nombres réels. STT-3220; Méthodes de prévision

Opérateur retard B (backward shift operator) Soit le processus . L’opérateur retard B se définit comme suit: STT-3220; Méthodes de prévision

Opérateur retard (suite) On suppose également que de sorte que . De plus: . L’opérateur retard est linéaire: STT-3220; Méthodes de prévision

Opérateur retard (suite) Considérons l’opérateur polynomial B: On a alors que: STT-3220; Méthodes de prévision

Opérateur retard (suite et fin) Somme, produit et produit par un scalaire se définissent de la même façon que pour des polynômes d’une variable réelle. STT-3220; Méthodes de prévision

Opérateur « différence » ainsi que « différence saisonnière » D’autres opérateurs sont utiles: Opérateur différence: Par exemple: Opérateur différence saisonnière: Soit s. On le définit comme: Exemple: STT-3220; Méthodes de prévision

Réécriture des modèles ARMA à l’aide de l’opérateur retard Posons: Il est élégant et économique d’écrire: Si , on dit que le processus est ARMA(p,q) si STT-3220; Méthodes de prévision

Processus autorégressifs; Processus moyennes mobiles Un processus ARMA(p,0) est souvent noté AR(p): Un processus ARMA(0,q) est souvent noté MA(q): STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Racines communes Considérons un modèle ARMA: Comme nous allons le constater, la stationnarité et l’inversibilité reposeront sur l’étude des racines du polynôme autorégressif (stationnarité) et du polynôme moyenne mobile (inversibilité). Cependant, il faudra s’assurer que les deux polynômes n’ont pas de racines communes. Si tel est le cas, on retire simplement les facteurs communs. Exemple: n’est pas un ARMA(1,1), mais le bruit blanc: . STT-3220; Méthodes de prévision

Étude de la stationnarité d’un processus ARMA(p,q) Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est stationnaire est se questionner si admet une représentation du genre: On rappelle que: On aimerait faire « disparaître » l’opérateur . On aimerait multiplier par de chaque côté. STT-3220; Méthodes de prévision

Étude de la stationnarité (suite) Un résultat stipule que pour avoir l’existence de l’opérateur , il faut étudier les racines de l’équation: Résultat fondamental: existe si et seulement si les racines de l’équation sont plus grandes que un en module. STT-3220; Méthodes de prévision

Exemple: processus AR(1) Le processus est: De manière équivalente: L’équation caractéristique est: La racine de cette équation est: Si on a alors que: STT-3220; Méthodes de prévision

Stationnarité d’un ARMA(p,q) Si est un opérateur qui existe, on a alors que l’équation peut être multipliée de chaque côté par l’opérateur , ce qui nous donne: STT-3220; Méthodes de prévision

Inversibilité d’un processus ARMA(p,q) Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est inversible est se questionner si admet une représentation du genre: La discussion est en tout point similaire à celle sur la stationnarité. Dans , on veut multiplier de chaque côté par . STT-3220; Méthodes de prévision

Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite) L’opérateur existe si et seulement si les racines de l’équation sont plus grandes que un en module. Dans un tel cas: STT-3220; Méthodes de prévision

Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite) On note que dans: Ainsi: STT-3220; Méthodes de prévision

Exemple: Inversibilité d’un processus MA(1) Le processus est: De manière équivalente: L’équation caractéristique est: La racine de cette équation est: Si on a alors que: STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Remarques Soient l’éqn , ou l’éqn avec En général, les racines de ces équations pourraient être des nombres complexes. On rappelle que si est racine d’une équation, avec , il en est de même du conjugué, i.e. que sera également racine. Rappel: le module d’un nombre complexe est donné par la formule: STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Plan complexe STT-3220; Méthodes de prévision

Expressions consacrées! Vous allez souvent rencontrer des expressions du genre: « Les racines de (…) sont plus grandes que un en module ». Ou encore: « Les racines de (…) sont à l’extérieur du cercle unité ». STT-3220; Méthodes de prévision

Cercle unité (dans le plan complexe) STT-3220; Méthodes de prévision

Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un AR(p) Processus AR(p): Ce processus est stationnaire ssi les racines de sont plus grandes que un en module. Ce processus est toujours inversible. Exemple: AR(1) admet une représentation en terme des valeurs passées et est stationnaire ssi STT-3220; Méthodes de prévision

Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un MA(q) Processus MA(q): Ce processus est inversible ssi les racines de sont plus grandes que un en module. Ce processus est toujours stationnaire. Exemple: MA(1) admet une représentation en terme d’un bruit blanc et est inversible ssi STT-3220; Méthodes de prévision