Systèmes d’équations

Situation Dans un centre sportif il y a deux piscines: A et B. La piscine A contient 25 000L d’eau, tandis que la piscine B en contient 500L. Au même moment, on démarre la pompe qui va remplir la piscine B et la valve qui va vider la piscine A. Dans combien d’heures les deux piscines contiendront la même quantité d’eau si on sait que le débit de la pompe de la piscine B est de 1000L/heure et le débit de la valve de la piscine A est de 1500L/h?

Piscine A Piscine B Au départ: 500 L Au départ: 25000 L 1500L/h X: le temps (le nombre d’heures) Y: le nombre de litres qui restent dans la piscine 1500L/h 1000L/h Au départ: 500 L Au départ: 25000 L Quelles sont les variables indépendante et dépendante de la situation?

Système d’équations A: y = 25000 – 1500x B: y = 500 + 1000x Si on a des équations dans lesquelles on utilise les mêmes variables, on parle d’un système d’équations. A: y = 25000 – 1500x B: y = 500 + 1000x Quelle est la règle de chacune des piscines? Non, parce que si on remplace x par 10 et y par 10 000, dans la première équation on obtient: 10 000 = 25 000 – 1500.10 ->vrai, mais dans la deuxième: 10 000 ≠ 500 + 1000.10, donc le couple (10, 10 000) n’est pas une solution, parce qu’il ne satisfait pas les deux équations. Est-ce que le couple (10, 10 000) est une solution du système? Pour résoudre un système d’équations, on cherche à trouver pour quelle valeur de la variable indépendante (x) on a la même valeur de la variable dépendante (y) dans les deux équations. La solution d’un système d’équations est un couple (x, y). Il doit satisfaire toutes les équations du système, c.-à-d. quand on remplace les variables dans les équations par les valeurs trouvées, on est supposé obtenir des égalités.

Quelle est la règle de chacune des piscines? Solution à l’aide d’un graphique Construisez les graphiques des deux fonctions dans le même plan cartésien A: y = 25000 – 1500x B: y = 500 + 1000x Quelle est la règle de chacune des piscines? La solution: x = ?, y = ?

Nombre de solutions d’un système d’équations Même taux de variation, mais différentes valeurs initiales: aucune solution Même taux de variation et même ordonnée à l’origine: infinité de solutions Différents taux de variation: une seule solutions

Solution à l’aide d’une table de valeurs x 9,4 9,6 9,8 y A 10900 10600 10300 y B 9900 10100 A: y = 25000 – 1500x B: y = 500 + 1000x X:nombre d’heures 3 7 9 10 yA: L dans la piscine 20500 14500 11500 10000 yB: L dans la piscine 3500 7500 9500 10500 yA > yB pour les valeurs de x ≤ 9, tandis que yA < yB pour les valeurs de x ≥ 10. On veut que yA = yB, donc, la solution pour x se trouve entre 9 et 10.

Exercices Trouver la solution du système d’équations suivant à l’aide d’un graphique: y = x-5 y = 2x+3 Solution: x = -8 y = -13

Exercices Trouver la solution du système d’équations à l’aide d’une table de valeurs: y = 2x+5 y = 3x-4 x 8 9 y = 2x + 5 21 23 y = 3x - 4 20 x 5 7 10 y = 2x + 5 15 19 25 y = 3x - 4 11 17 26

Comment résoudre algébriquement un système d’équations? 3. On remplace la valeur obtenue de x dans la première équation dans le but de trouver la valeur de y: Y = 25000 – 1500.9,8 Y = 10 300 Litres 4. On vérifie si on obtient la même valeur de y dans la deuxième équation. Y = 500 + 1000.9,8 On obtient la même valeur, donc le système est correctement résolu est la solution est le couple (9,8; 10 300). A: y = 25000 – 1500x B: y = 500 + 1000x 1. On isole la variable dépendante dans chacune des équations (si ce n’est pas déjà fait). 2. On construit une équation, composée des côtés droits des deux équations A et B. 25000 – 1500x = 500 + 1000x 25000 – 500 = 1000x + 1500x 24500 = 2500x 24500÷2500 = x x = 9,8 heures