Application au diagnostic d'un procédé de digestion anaérobie Abstraction des trajectoires d'un système continu en un automate temporisé Application au diagnostic d'un procédé de digestion anaérobie A. Hélias S3: Surveillance, supervision, diagnostic des systèmes à événements discrets (25 mai 2004)

Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Discrétisation Exemple Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

Contexte (1) UPR GREEN LBE-INRA Projet Comore Gestion des REssources renouvelables et de l’ENvironnement Gestion des Déchets Organiques, Cirad-Tera Réunion François Guerrin Laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement Equipe Automatique, INRA Narbonne Jean-Philippe Steyer LBE-INRA Projet Telemac (www.ercim.org/telemac) Projet Comore contrôle et modélisation de ressources renouvelables Olivier Bernard

Contexte (2)

Une modélisation continue/discrète dynamique modulaire générique Les systèmes dynamiques hybrides Domaine développé depuis  1990 De nombreux formalismes Fortes connexions entre les différentes approches Permet la simulation mais limité au niveau de l’analyse Partie continue  modèle discret Formalisme : l’automate temporisé Procédure d’abstraction

Formalisme discret à temps continu Particularités Formalisme discret à temps continu Modèles continus imprécis Utilisation d’intervalles Seuils par connaissance experte Etats qualitatifs du système Procédure « à la demande » Selon la propriété à vérifier

Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Discrétisation Exemple Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

L’automate temporisé (Alur et Dill, 1994) inv (X) garde reinit {X} a s0 s1 b Les horloges : Synchronisation Discontinuités par réinitialisation Associations de contraintes Modularité : composition d’automates

Exemple Gestion des horaires sur un lieu de travail : s0 : Présence sur le lieu de travail s1 : Pause de la mi-journée Au moins 4 heures de présence avant la pause Entre 1 et 2 heures de pause a ; x  4h ; y := 0 y  2h b ; y  1h s0 s1

Produit d’automates Deux personnes partent au même moment mais retournent sur le lieu de travail séparément a ; x1  4 ; y1 := 0 a ; x2  4 ; y2 := 0 s1 Réalisé automatiquement s1,s3 a ; x1  4 ; x2  4 ; y1 := 0 ; y2 := 0 s2,s4 y1  2 y2  2 s1,s4 s3,s2 c ; y2  1 b ; y1  1 s2 s3 s4 y1  2 y2  2 b ; y1  1 c ; y2  1

Model-checking (TCTL) Système réel Comportements du système à vérifier Modèle du système Spécifications de fonctionnement Vérification par model-checking Contre- exemple Propriété vérifiée Quand Atteignabilité : depuis l’état de départ, le système peut-il atteindre un état vérifiant une propriété p1 ? Réponse bornée : atteignabilité dans un temps contraint ? KRONOS (http://www-verimag.imag.fr/TEMPORISE/kronos/)

Moments d’atteignabilité Kronos [-allpath -FULLDFS]... -- Trace #1 -- < 0, X=Y> --- A_B ---> < 1, 1<=X and X<=2 and X=Y> --- B_C ---> < 2, 1<=X and Y<=3 and X=Y> -- Trace #2 -- < 0, X=Y> --- ---> < 2, Y<=3 and X=Y> Existence d’une horloge non réinitialisée dans l’automate Résolution par programmation linéaire (min et max) min f(x), max f(x) A.x  b

Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Discrétisation Exemple Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

Système continu Imprécisions sur les entrées et l’état initial   et   définis de telle sorte que chaque enveloppe de chaque intervalle d’entrée soit affectée selon son influence sur la valeur des dérivées

Double système Propriété Coopérativité (Smith 1995) xi Alternative : maillage

Partition de l’espace d’état Seuils sur les variables d’états Division de l’espace en cellules l1,3 l1,3 l1,2 l1,2 l3,3 l3,3 l3,2 l3,2 x2 x2 x2 li,1 l2,2 l2,3 li,1 l2,2 l2,3 x3 x3 x3 x1 x1 x1 Etat discret : franchissement de seuil orienté

Franchissement d’un seuil - Sens de franchissement selon le signe des dérivées Xi Xi x + x - v i i v x - x + i i t t tmin tmax tmin tmax - Date au plus tôt, garde de l’arc - Date au plus tard, invariant du sommet précédent max t £ x min ³ "wD" "vD" s1 s2

Premier franchissement de seuil Deux seuils successifs Cas Particuliers Premier franchissement de seuil "vD" "0" tv - x  + x  t v i x Xi w Deux seuils successifs t w v i x - + tv tw Xi "vD" "0" x  "wD" x 

Cas Particuliers Non franchissement d’un seuil v i x - + Xi tv "0" "vD" tw x  Chaque enveloppe franchit un seuil différent t w v i x - + Xi tv tw "vD" "0" "w" x 

Plusieurs franchissements d’un même seuil Cas Particuliers Plusieurs franchissements d’un même seuil t v i x - + Xi 1 2 3 "v2D" x  "0" x  "v1D" x = Espace d’état initial supérieur non compris dans une cellule t v i x - + Xi "vD" "0" x  t0 "v" x  x =

  Evolution du système dans deux dimensions t t t t t t t t t t t t + x + i i x - i x + i x - v v x - v i i X2 X2 X2 w w w X1 X1 X1 "0" "0" "0,0" x  t + x  t - x  t + x  t - x  t - v v w v w x  t - w   x  t + x  t + "vD,0" "0,wD" v w x  t - x  t - w v "vD" "wD" "vD,wD" x  t + x  t + w v

Continu  Discret Pour chaque dimension seuils franchissables à t0 Pour chaque borne simulation seuils franchissables  Sommets sens  Propositions instants t min  Arcs et gardes t max  Invariants Produit des automates : A1  A2  …  An Automate temporisé de la dynamique continue imprécise

Exemple: stock de lisier temps (jours) N total (kg) volume (m3) temps (jours) N total (kg) volume (m3) s2 x  141 x 162 s1 "0" "300" x  169 s4 x  243 s2 x  132 x  267 s3 x  154 x 206 s1 "0" "75" "90" "100" 100 90 75 132 154 169 206 243 267 300 162 141

Automate temporisé "0" "75" "90" "100" "0" "300" "0,0 " x  169 s4 x  243 s2 x  132 x  267 s3 x  154 x 206 s1 "0" "75" "90" "100" s2 x  141 x 162 s1 "0" "300" s1,1 s2,1 s3,1 s4,1 s4,2 s2,2 s1,2 s3,2 "0,0 " "100,300" "90,300" "75,300" "0,300" "75,0" "90,0" "100,0" x 162 x  206 x  243 x  267 x  132 x  141 x  154 x  169

Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Discrétisation Exemple Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

Hydrolyse et Acidogénèse La digestion anaérobie Hydrolyse et Acidogénèse Méthanogénèse Acétogénèse CH4+CO2 CH4 Acétate CO2+H2 bactéries méthanogènes hydrogénophiles acétoclastes Macromolécules Acides organiques, Alcools, ... bactéries hydrolytiques hydrolyse enzymatique bactéries acidogènes bactéries homoacétogènes Monomères bactéries acétogènes

Pilote du LBE-INRA Biogaz Réacteur en lit fixe de 1 m3 Sortie Echangeur de chaleur Température Système de dilution pH Biogaz Sortie Réacteur en lit fixe de 1 m3 Eaux usées Eau NaOH Réchauffeur Membrane d’UF Analyseur COT Capteur titrimétrique (AT, AP, AGVtot, Bic) Spectromètre InfraRouge (DCOs, COT, AGVtot, AGVC3, AT, AP, CO2d) TOC = 2.35 Spectromètre UV (DCOs, COT, AGVtot) CH4/CO2 H2 Débit de gaz Pression Débit de recirculation d'alimentation

Pilote du LBE-INRA

Bernard et al, 2001 Monod Haldane

Simplifications les biomasses sont considérées constantes l’inhibition du taux de croissance de X2 par la production d’AGV n’est pas prise en compte

Coopérativité Jacobienne:

Encadrement

Seuils sur les variables  S2 50 100 normale élevée critique Z faible C 75 DCO 2 10 5 qGaz 200 400 normal élevé

Relations DCO normale, S2 normale, et qGaz normal : fonctionnement normal du réacteur, DCO faible : sous charge, une plus grande quantité de matière organique pourrait être traitée, DCO élevée : le réacteur n’arrive pas à traiter l’ensemble de la matière organique, une pollution se retrouve en sortie, DCO critique : une pollution importante se retrouve en sortie. S2 normale : risque de surcharge organique très faible, Z élevée et S2 élevée : risque de surcharge organique faible, Z élevée et S2 critique : risque de surcharge organique, Z faible et S2 élevée : risque de surcharge organique important, Z faible et S2 critique : risque de surcharge organique très important. qGaz faible : valorisation du biogaz peu importante, C élevée et qGaz élevé : production de gaz normale, C élevée et qGaz critique : production de gaz normale, difficulté possible lors de sa valorisation (la composition du biogaz risque d’être altérée), C faible et qGaz élevé : production de gaz problématique, difficulté lors de sa valorisation (i.e., sa composition risque d’être modifiée), C faible et qGaz critique : production de gaz problématique, risque important lors de sa valorisation.

Prévision des entrées sur 4 jours S1in S2in 25 150 20 gDCO. L-1 15 mmol eqacétate. L-1 100 10 5 50 24 48 72 96 24 48 72 96 Zin Cin 300 60 mmol eqH+. L-1 200 40 mmol eqH+. L-1 100 20 24 48 72 96 24 48 72 96 temps (h) D 0.08 0.06 0.04 0.02 24 48 72 96 temps (h)

Simulation S1 S2 12 250 9 gDCO. L-1 6 mmol eqacétate. L-1 100 3 50 24 24 48 72 96 24 48 72 96 Z C 270 200 mmol eqH+. L-1 mmol eqH+. L-1 75 100 50 24 48 72 96 24 48 72 96 DCO qGaz 25 600 400 mmol.h-1 gDCO. L-1 10 200 5 2 24 48 72 96 24 48 72 96 temps (h) temps (h)

Vérification Discrétisation :1152 sommets, 4608 transitions Exemple : 118 atteignables Exemple : DCO normale, S2 normale, et qGaz normal ?

Vérification  S1 normale 50 élevée 100 critique  S2 bas 100 élevée   S1 normale 50 élevée 100 critique  S2 bas 100 élevée  Z bas 75 élevée  C bas 2 normale 5 élevée 10 critique  DCO bas 200 normal 400 élevée  qgaz

Vérification Discrétisation :1152 sommets, 4608 transitions Exemple : 118 atteignables Exemple : DCO normale, S2 normale, et qGaz normal ? Entre [24 49] et [84 96] heures Prévoir le fonctionnement du systèmes (avec prise en compte d’imprécisions) Opérations de maintenance à réaliser

Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Discrétisation Exemple Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

Système continu  modèle discret Prise en compte des imprécisions : plusieurs éléments (entrées, état initial) sont estimés par des intervalles  que deux systèmes EDO extrémaux, Partition de l’espace d’état : définition de seuils sur les variables d’état  connaissance experte, « à la demande » états discrets : franchissements des seuils  construction automatique, 1 automate pour chaque dimension  produit des automates,

Limites et perspectives le système oscille autour d’une valeur de seuil le nombre de seuils définis est élevé (e.g., supérieur à la centaine) approximations des instants de franchissement Perspectives modéliser les différents sous-systèmes du pilote (e.g., système de régulation de la température, bac de dilution en amont, capteurs…) seuils flous

Merci