Raisonnement et démonstration au collège Académie de Toulouse Avril 2009

Dans le Petit Larousse Raisonnement: suite de propositions déduites les unes des autres, argumentation. Preuve: ce qui démontre, établit la vérité de quelque chose ; en mathématiques, opération par laquelle on contrôle l’exactitude d’un calcul ou la justesse de la solution d’un problème. Démonstration: raisonnement établissant la vérité d’une proposition à partir des axiomes que l’on a posé. Diapos 2 et 3 : il s’agit de s’entendre autant que faire se peut sur les termes « raisonnement », « preuve » et « démonstration ». Ne pas laisser le débat s’engager sur les sens respectifs de ces termes. Raisonnement : c’est essentiellement une démarche intellectuelle raisonnée, cohérente. Peut aboutir ou non et avoir cependant de la valeur. Peut être communiqué de différentes façons. Sa communication est le problème de certains élèves. Preuve : il s’agit de convaincre de quelque chose. Pas forcément mathématiquement. Démonstration : un raisonnement qui a abouti et qui est communiqué en suivant des règles assez précises notamment concernant les arguments attendus.

Autre point de vue Raisonnement: démarche intellectuelle, rendue accessible à autrui par la trace, orale ou écrite, qui en est communiquée. La distance entre le raisonnement et la trace produite peut-être très grande. Preuve: acte social qui vise à convaincre d’un résultat. Est construite à partir d’un raisonnement et se communique par une trace orale ou écrite. Démonstration: un type de preuve spécifique. Propre aux mathématiques.

Que disent les textes? Programmes de collège publiés au BO spécial n°26 du 28 août 2008

Introduction commune aux disciplines scientifiques. I-4. Penser mathématiquement: «…Celle-ci (la pensée mathématique) repose sur un ensemble de connaissances solides et sur des méthodes de résolution de problèmes et des modes de preuve (raisonnement déductif et démonstrations spécifiques)… » II(Le socle commun…)-1. Les mathématiques: «... Le rôle de la preuve, établie par le raisonnement, est essentiel et l’on ne saurait se limiter à vérifier sur des exemples la vérité des faits mathématiques. » Diapo 5 : Raisonnement déductif et démonstrations spécifiques (on y reviendra) sont constitutifs de la pensée mathématique.   Le rôle essentiel, en mathématiques, de la preuve établie par le raisonnement est reconnu dans le cadre du socle commun de connaissances et de compétences.

Introduction commune aux disciplines scientifiques. III- La démarche d’investigation «(…) les programmes de collège privilégient, pour les disciplines scientifiques et la technologie, une démarche d’investigation. » Proximité des démarches suivies en sciences expérimentales et en mathématiques : résolution de problèmes, formulation d’hypothèses explicatives d’un côté, de conjectures de l’autre. Particularités concernant la validation, par l’expérimentation d’un côté, par la démonstration de l’autre. Diapo 6 : L’importance de la démarche d’investigation dans les disciplines scientifiques au collège, dans la continuité de l’école primaire, est rappelée ainsi que la place de la conjecture et de la démonstration dans cette démarche, spécifique aux mathématiques.

Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 1.1: « les mathématiques contribuent (…) à entraîner les élèves à la pratique d’une démarche scientifique. L’objectif est de développer (…) les capacités d’expérimentation et de raisonnement , d’imagination et d’analyse critique.» «A travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves… » Diapo 7 : Le raisonnement est constitutif de la pratique de la démarche scientifique à laquelle on entraîne les élèves au collège. L’apprentissage progressif de la démonstration apparaît comme un des éléments permettant aux élèves de prendre conscience de ce qu’est une véritable activité mathématique.

Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 2 (Le socle commun): « dans le domaine géométrique, les élèves doivent apprendre à raisonner et argumenter mais l’écriture formalisée d’une démonstration de géométrie n’est pas un exigible du socle » Diapo 8 : Un des deux points importants sur lesquels le socle se démarque du programme concerne le raisonnement et la démonstration en géométrie. On y reviendra.

Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 4.1 intitulé: Une place centrale pour la résolution de problèmes. Paragraphe 4.5 intitulé : Une initiation très progressive à la démonstration. « La pratique de l’argumentation (…)a commencé dès l’école primaire et se poursuit au collège pour faire accéder l’élève à cette forme particulière de preuve qu’est la démonstration. » Place centrale à la résolution de problème donc au raisonnement. Initiation seulement à la démonstration. Ce rapport de force correspond—t-il à la réalité des classes? L’argumentation, le raisonnement, apparaissent comme des constantes . La démonstration comme un aboutissement. Permet de poser la question des places respectives du raisonnement et de la démonstration dans l’enseignement au collège. On peut travailler sur les mots « argumentation », « preuve », qui, à mon sens sont là des synonymes de « raisonnement », et sur « démonstration », qui n’en est qu’une forme particulière. Diapo 9 : Le raisonnement est au cœur de la résolution de problème. Il a donc, comme la résolution de problèmes, une place centrale dans les apprentissages des élèves au collège. Dans les précédents programmes le titre du 4.5 était « une initiation progressive à la démonstration ». Le « très » qui a été ajouté n’est sans doute pas anodin. L’argumentation est indissociable du raisonnement. Celui-ci est donc exercé depuis l’école primaire. Pas la démonstration.

Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 4.5 (suite): «  Si (…)le domaine géométrique occupe une place particulière, la préoccupation de prouver et démontrer ne doit pas s’y cantonner. Le travail sur les nombres, sur le calcul numérique puis sur le calcul littéral offre également des occasions de démontrer.  La variété des domaines où il est suggéré de démontrer. Diapo 10 : on rappelle que le domaine géométrique n’est pas le seul où l’on prouve et où l’on démontre.

Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 4.5 (suite): « Deux étapes doivent être clairement distinguées : la première et la plus importante est la recherche et le production d’une preuve ; la seconde, consistant à mettre en forme la preuve, ne doit pas donner lieu à un formalisme prématuré.(…) Des préoccupations et exigences trop importantes de rédaction risquent d’occulter le rôle essentiel du raisonnement dans la recherche et la production d’une preuve. (…) Il est important de ménager une grande progressivité dans l’apprentissage de la démonstration et de faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathématique au collège. ». Souligner la place du raisonnement dans la recherche d’une démonstration. Cette place n’apparaît plus une fois la démonstration rédigée. Comment évaluer une démonstration? Diapo 11 : on rappelle les deux étapes de la preuve et on insiste davantage que dans l’introduction des précédents programmes sur différents éléments : le fait que la recherche et la production d’une preuve est la plus importante des deux étapes, sur la grande progressivité de l’apprentissage de la démonstration et sur la place à faire au raisonnement. Cette diapositive est très importante. Bien insister.

Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 4.5 (suite): « Dans le cadre du socle commun (…) c’est la première étape, « recherche et production d’une preuve » qui doit être privilégiée, notamment par une valorisation de l’argumentation orale » Diapo 12 : on retrouve la spécificité du socle déjà évoquée. Insister sur la valorisation de l’oral.

Ce qui concerne le raisonnement et la démonstration dans les objectifs de la résolution de problèmes figurant en en-tête des différentes parties des programmes: Quelle progressivité? Diapo 13 : Une nouveauté de l’écriture des programmes : la mise en évidence des objectifs de la résolution de problèmes. Concernant le raisonnement et la démonstration, ils sont assez significatifs notamment par leur progressivité.

Organisation et gestion des données, fonctions Les raisonnements permettant de traiter les situations de proportionnalité : Mise en place en 6e , affermissement de leur maîtrise en 5e, consolidation et enrichissement en 4e .

En 3e : familiariser les élèves aux raisonnements arithmétiques. Nombres et Calculs En 5e : familiariser les élèves aux raisonnements conduisant à des expressions littérales. En 4e : conduire les raisonnements permettant de traiter diverses situations (…) à l’aide de calculs numériques, d’équations ou d’expressions littérales. En 3e : familiariser les élèves aux raisonnements arithmétiques.

Géométrie En 6e : initier à la déduction, conduire sans formalisme des raisonnements simples utilisant les propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale. En 5e,4e et 3e : entretenir la pratique des constructions géométriques et des raisonnements sous jacents. De plus: En 5e : s’entrainer à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en sixième ; conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples. Diapos 16 et 17 : Insistance sur « sans formalisme » jusqu’en 4e. Pour rappeler que « le fond » est plus important que « la forme »? Reconnaissance du raisonnement sous jacent aux constructions géométriques. L’initiation des élèves à la démonstration n’apparaît comme un objectif de la résolution de problème qu’en 4e et dans le champ de la géométrie. Pour marquer la différence entre ce qui est fait en classe avec le professeur et ce qui peut être demandé aux élèves? Pour recentrer sur des objectifs de formation des élèves portant sur le raisonnement?

Géométrie En 4e : conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples utilisant les propriétés des figures usuelles, les symétries, les relations métriques, les angles ou les aires; initier les élèves à la démonstration. En 3e : développer les capacités de raisonnement et les capacités relatives à la formalisation d’une démonstration; solliciter dans les raisonnements les propriétés géométriques et relations métriques vues antérieurement. Développer des capacités de formalisation n’apparaît qu’en 3e. Pour marquer à nouveau la différence entre ce qui est fait en classe avec le professeur et ce qui peut être demandé aux élèves? Souligner qu’il s’agit là des objectifs de la résolution de problèmes (par les élèves) et que cela n’est pas incompatible avec la réalisation en classe de démonstrations, avec l’aide du professeur, et relevant des différentes grandes parties du programme. Elles contribuent à la formation des élèves au raisonnement.

Grandeurs et mesures En 4e : consolider les raisonnements permettant de calculer les grandeurs travaillées antérieurement (…). En 3e : entretenir et compléter les raisonnements relatifs aux calculs d’aires et de volumes. Diapo 18 : Reconnaissance du raisonnement sous jacent au calcul de grandeurs.

Pour conclure cette première partie L’initiation à la démonstration s’appuie sur l’apprentissage du raisonnement réalisé depuis l’école primaire et tout au long du collège. Elle y contribue également. Ce sont les compétences des élèves dans le domaine du raisonnement plutôt que dans le domaine de la démonstration que l’on évalue au collège.

Comment développer et faire évoluer tout au long du collège les compétences des élèves relatives au raisonnement?

Du côté des élèves En leur donnant des occasions suffisamment fréquentes de développer une démarche d’investigation : des situations qui s’y prêtent, du temps, une problématique suffisamment ouverte… D’argumenter à l’oral… : présentation autonome au tableau de solutions d’exercices, pratique du débat ... …et à l’écrit sans contrainte : questions posées de façon plus ouverte (en particulier privilégiant la forme interrogative), incitations spécifiques à communiquer la recherche même inaboutie, narration de recherche… Certains types d’exercices suscitent plus facilement que d’autres l’argumentation: V/F avec justification, QCM, questions ouvertes… Autres pistes? Diapo 21 : Quelques pistes liées aux points forts des textes : la démarche d’investigation (diapo 6), le rôle de l’oral, la recommandation « sans formalisme » Souligner que si la pratique de la démarche d’investigation en classe demande du temps (et donc ne peut pas être effectuée aussi souvent qu’on le souhaiterait), les autres suggestions faites dans la diapo ne sont pas « coûteuses en temps ».

Du côté des professeurs En distinguant systématiquement la conjecture et la preuve, les résultats admis et les résultats démontrés, En travaillant sur les implicites des énoncés, notamment dans le domaine littéral, En réalisant en quelques occasions des démonstrations devant la classe avec l’objectif de montrer comment on cherche, En n’ayant pas d’exigences de formalisme prématurées, En valorisant les raisonnements partiels, les écrits Intermédiaires. Autres pistes?

Dans quels domaines? En s’appuyant sur quels types de raisonnement? En géométrie et dans le domaine des nombres et du calcul essentiellement. Raisonnement inductif, Raisonnement déductif, Exploitation d’exemples génériques, Utilisation réfléchie des règles de calcul littéral disponibles, Exploitation de l’unicité figurant dans certaines définitions, Raisonnement par l’absurde, Preuve par le contre exemple, Raisonnement par disjonction de cas. Diapo 23 : Insister sur le fait qu’il s’agit de premiers contacts avec le raisonnement par l’absurde, le raisonnement par disjonction de cas, et que l’on n’attendra pas, de la part des élèves de compétences dans ce domaine. Donner des exemples.

Comment évaluer le raisonnement? Une proposition: utiliser les quatre compétences de la résolution de problèmes C1: lire, interpréter et organiser l’information, C2: s’engager dans une démarche de recherche et d’investigation, C3: mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve, C4 : communiquer par des moyens variés et adaptés (aptes à convaincre) la solution du problème.