Les matrices
1)PRESENTATION Une matrice c’est un tableau de nombres A = (ai,j)= i indice de ligne, j indice de colonne
A est une matrice ayant n lignes et p colonnes AMn,p
Matrices particulières Matrice ligne M1,p Matrice colonne Mn,1 Matrice carrée Mn,n
Matrice nulle notée 0
Matrice unité notée I
égalité Soit A = (ai,j ) et B = (bi,j) (A=B)((i)(j)on a ai,j=bi,j)
2)ADDITION
Définition : Soit A =(ai,j ) et B =(bi,j) et C = (ci,j ) ( C = A + B ) (( i)( j ) on a ci,j = ai,j + bi,j )
Propriétés A, B, C, 0 sont des matrices dans Mn,p alors (A + B ) + C = A + ( B + C ) A + 0 = 0 + A = A A + ( - A ) = ( - A ) + A = 0 A + B = B + A
3)MULTIPLICATION PAR UN REEL
Définition Soit A = (ai,j ) et k un réel ( C = k A ) ( (i)( j) on a ci,j = k ai,j )
Propriétés A, B sont des matrices dans Mn,p et h et k des réels ( h + k ) A = h A + k A k ( A + B ) = k A + k B ( h k ) A = h ( k A ) 1 A = A
4)MULTIPLICATION DES MATRICES Mn,p Mp,q Mn,q
Définition Soit A = (ai,j ) et B = (bi,j ) et C = (ci,j ) ( C = A B ) ((i)( j) on a ci,j = )
On effectue un produit ligne par colonne élément à élément
Propriétés A, B, C sont des matrices dans et k un réel alors ( A B ) C = A ( B C ) A I = I A = A A ( B + C ) = A B + A C et ( B + C ) A = B A + C A k( A B ) = (k A )B = A( k B )
Attention en général:A B B A
Quand elle existe, la matrice inverse de A se note A-1 et vérifie la relation A A-1 = A-1 A = I de plus elle est unique. attention l’inverse de A n’existe pas forcément