RECURSOS PARA PROCESAR, APRENDER Y ENSEÑAR EL CÁLCULO: NUEVOS MODOS DE CONCEPCIÓN Y DE DIFUSIÓN Luc Trouche Institut National de Recherche Pédagogique, France Luc.Trouche@inrp.fr Tercer Encuentro Internacional sobre la Enseñanza del Cálculo Novembre 2009, Mexico

Problèmes de traduction… Toujours complexes pour rendre les nuances de concepts en cours de développement… English Professor Calculus Français Professeur Tryphon Tournesol Espagnol Profesor Silvestre Tornasol Merci à François Pluvinage pour son aide et à l’assistance pour sa compréhension !

RECURSOS PARA PROCESAR, APRENDER Y ENSEÑAR EL CÁLCULO: NUEVOS MODOS DE CONCEPCIÓN Y DE DIFUSIÓN Nouveaux contextes technologiques : des outils mathématiques individuels à des outils multifonctions en réseau Nouveaux contextes curriculaires : de la salle de classe à la métaphore du laboratoire Nouveaux contextes de développement professionnel : de la thématique des technologies à la thématique des ressources

1. Nouveaux contextes technologiques La pratique des calculs, depuis toujours assistée par un ensemble d’outils Les outils du mathématiciens: structurés, embarquant des connaissances (Trouche 2004) Une tablette de 10cm x 10 cm, contenant 250 problemas (Nippur, - 2000)

1. Nouveaux contextes technologiques Une évolution conjointe des outils et des mathématiques La combinaison d’outils anciens et nouveaux, une autre caractéristique du travail mathématique Calcul avec des chiffres / avec des jetons (1400) Règle à calcul d’un côté, calculatrice de l’autre (1970)

1. Nouveaux contextes technologiques Les calculatrices, l’aboutissement d’un processus de miniaturisation et de rassemblement d’outils sous une même enveloppe L’apparition des écrans et des images animées, un élément important pour donner à voir un ensemble de représentations des objets mathématiques Des effets sur la pratique des mathématiques (zapping) et la conceptualisation (Guin et al. 2005)

1. Nouveaux contextes technologiques Un fait majeur, le développement des réseaux Réseau, pour une personne donnée, entre un ensemble d’outils : c’est le même logiciel qui est implémenté sous différentes enveloppes qui communiquent (Aldon et al. 2008) Réseau, pour un ensemble d’acteurs, entre un ensemble d’outils pour traiter un problème donné Des outils communiquants (tableau blanc interactif, Internet) Complexité des orchestrations à concevoir (Drijvers et Trouche 2008) , Réseau calculatrice/ordinateur Réseau dans la classe

1. Nouveaux contextes technologiques Un premier exemple Le contexte : une classe équipée d’un tableau blanc interactif et d’une connexion Internet ; une multiplication à réaliser Le premier réflexe : utiliser Google pour avoir le résultat Même technique, pour recherche le résultat d’une opération, ou la capitale de la Transylvanie, ou…

1. Nouveaux contextes technologiques De nouveaux moyens pour soutenir les discussions collectives dans la classe TI-Navigator, réseau de calculatrices Gestion des données et des écrans des élèves par le professeur Plusieurs configurations possibles : mosaïque d’écran ; repère commun ; consultation rapide… Exploitation possible en physique ou biologie (capteurs), ou en mathématiques

1. Nouveaux contextes technologiques B C Deuxième exemple : ABC est un triangle isocèle, AB = AC = 10 cm, quelle est l’aire de ce triangle ? - objectif : le concept de fonction - manipulation d’outils « anciens » (règle, compas), mesures - envoi des données sur l’écran - un objet se constitue, création personnelle, mais détaché de soi ; - recherche d’une formule, co-élaboration d’un objet mathématique qui modélise un problème donné ; - de nombreux problèmes se posent (incertitudes de mesure ou erreurs de calcul, courbe ou nuage de points, etc.)

1. Nouveaux contextes technologiques Choix didactiques complexes pour le professeur : du point de vue de l’orchestration (afficher, ou non, les noms des élèves auteurs, repère commun ou mosaïque d’écrans) ; du point de vue plus général de la gestion de la situation (comment gérer le débat scientifique, quand et comment dégager des significations?) Une viabilité assurée par un intérêt institutionnel et le travail collaboratif d’une équipe (Hoyles et al., 2009)

2. Nouveaux contextes curriculaires La métaphore des laboratoires mathématiques pour pratiquer, apprendre, enseigner les mathématiques, une métaphore régulièrement visitée depuis 1908 (Maschietto et Trouche, online) « Les lycées pourraient abriter des laboratoires de sciences mathématiques à côté de ceux de sciences physiques. Elèves et professeurs y trouveraient documentation, matériels informatiques, logiciels […] Des créneaux horaires spécifiques pourraient être réservés aux professeurs, pour leur formation continue » (Kahane 2000) Nouveaux programmes de mathématiques en France (2009) les thématiques d’expérimentation largement présentes :  « l’utilisation de logiciels (calculatrice ou ordinateur), d’outils de visualisation et de représentation, de calcul (numérique ou formel), de simulation, de programmation développe la possibilité d’expérimenter, ouvre largement la dialectique entre l’observation et la démonstration et change profondément la nature de l’enseignement ». http://media.education.gouv.fr/file/Programmes/20/1/pgm2nde2009_109201.pdf

2. Nouveaux contextes curriculaires Un exemple : l’épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat (12ème grade), expérimentée depuis 2007 « L'objectif de l'épreuve est d'évaluer les compétences des élèves dans l'utilisation des calculatrices et de certains logiciels spécifiques en mathématiques. Il s'agit d'évaluer chez les élèves, la capacité à mobiliser les technologies de l'informatique et de la communication pour l'enseignement (TICE) pour résoudre un problème mathématique Les sujets proposés aux candidats sont des exercices mathématiques où l'utilisation des TICE (calculatrice graphique programmable, ordinateurs et logiciels spécifiques, logiciels libres de préférence, tableurs, grapheur tableur, géométrie dynamique, calcul formel) intervient de manière significative dans la résolution du problème posé ». http://eduscol.education.fr/cid47793/epreuve-pratique-de-mathematiques-du-baccalaureat-serie-s.html

2. Nouveaux contextes curriculaires Un exemple Enoncé Soit f la fonction définie sur R par On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal Soit a un réel quelconque, M et N les points de C d’abscisses respectives a et –a. Construire la figure à l’aide d’un logiciel de votre choix Appeler l’examinateur pour vérification de la figure 2) Faire varier a et emettre des conjectures concernant respectivement la doite (MN) et l’intersection I des tangentes à C en M et N. Appeler l’examinateur pour vérification des conjectures 3) Déterminer en fonction de a les coordonnées des points M et N. Justifier les conjectures émises à la question 2. Production demandée Visualisation à l’écran du lieu du point I Réponses argumentées à la question 3

2. Nouveaux contextes curriculaires Un premier bilan institutionnel Ces innovations ont eu plusieurs conséquences : http://educmath.inrp.fr/Educmath/en-debat/epreuve-pratique/rapportep

2. Nouveaux contextes curriculaires Le rapport poursuit : Et pourtant… Pas de généralisation envisagée avant 2013 ! L’évaluation est la clé de voute du système, elle « tire » les évolutions de l’enseignement. La difficulté à faire bouger l’évaluation est un signe de la complexité de la mise en œuvre contrôlée de démarches expérimentales dans l’enseignement des mathématiques…

3. Nouveaux contextes de développement professionnel Le foisonnement d’outils de différents niveaux (tableau noir, tableau blanc interactif, logiciels, calculatrices, Internet…) demande une redéfinition de ce qu’est une “technologie” Emergence de la thématique des “ressources”, pour un regard large sur le travail du professeur (Gueudet et Trouche 2009) Ce qui re-source l’activité du professeur

3. Nouveaux contextes de développement professionnel Des ressources essentielles : les outils de calcul, et les résultats qu’ils proposent. Le contrôle des résultats, une attitude et des connaissances à développer, aussi bien chez les élèves que chez les professeurs, en particulier en combinant différents registres de représentation : est-il vrai que cette fonction d’admet pas de limite ? est-il vrai que cette équation admet une solution ?

3. Nouveaux contextes de développement professionnel La notion essentielle de contrôle de la qualité des ressources, qui élargit celle de contrôle du résultat donné par un outil de calcul Quelles sont, parmi les 2.600000 ressources proposées, les « bonnes ressources » pour enseigner la dérivée d’une fonction ?

3. Nouveaux contextes de développement professionnel Comment assurer la qualité des ressources ? 1) Des répertoires « garantis » : Educnet en France (Ministère de l’Education) Des répertoires peu alimentés, peu consultés, des ressources peu évolutives…

3. Nouveaux contextes de développement professionnel Comment assurer la qualité des ressources ? 2) Par des processus collaboratifs… Sésamath, une association pour discuter, concevoir, partager, faire évoluer des ressources pour l’enseignement des mathématiques Beacoup d’activité sur le site : 100 adhérents, 7000 personnes dans des groupes de projet, 70000 connexions par jour…

3. Nouveaux contextes de développement professionnel Un des projets phare de l’association : Mathenpoche, des centaines d’exercices librement téléchargeables, que l’on peut commenter ou enrichir

3. Nouveaux contextes de développement professionnel LaboMep : une interface « laboratoire » de conception, d’expérimentation, et de mutualisation de ressources, à partir du vivier initial de Mep (Math en poche), une version adaptée pour travailler en réseau dans une classe.

3. Nouveaux contextes de développement professionnel Comment assurer la qualité des ressources ? 1) Par des répertoires garantis 2) Par des processus collaboratifs… 3) Par une combinaison des deux… Le projet Pairform@nce en France (Gueudet et Trouche 2009) Le projet Enciclomedia au Mexique (Trigeros et Lozano, en cours)

3. Nouveaux contextes de développement professionnel Un résultat majeur : pas d’appropriation des ressources sans transformation, sans y mettre du sien. Un nouveau regard, pour la recherche, qui considère le travail du professeur comme un fait total (pas seulement en classe, pas seulement son travail individuel) et prend nécessairement en compte trois genèses imbriquées : 1) Genèses de ressources 2) Genèses de communautés d’enseignants 3) Genèses professionnelles Résultats d’une enquête auprès des membres d’une association d’enseignants, qu’en retirent-ils comme profit ? «  Un nouveau point de vue sur les mathématiques, plus dynamiques » « Je suis devenue un professeur en constant dialogue avec des milliers de collègues », « Le don, la gratuité, le partage, l’ouverture sur le travail des autres », « Cette communauté géante, cette salle des profs immense, cette banque où piocher… »

3. Nouveaux contextes de développement professionnel Les résultats des processus en jeux ne sont pas donnés d’avance. Internet, cela peut-être aussi : de l’individualisme en réseau ; des ressources clés en main, toutes ficelées ; un jeu de copier/coller ; des exercices sous la forme de QCM. Un enjeu qui dépasse les mathématiques… Mais, pour les mathématiques, des ouvertures conjointes : ouverture des problèmes, ouverture des ressources, ouverture des pratiques dans la classe et hors la classe. La métaphore des laboratoires de mathématiques ne vau pas que pour les élèves dans la classes, elle vaut aussi pour le travail des professeurs, ensemble, en présence ou à distance.

Bibliographie Aldon G. et al. (2008), Nouvel environnement technologique, nouvelles ressources, nouveaux modes de travail : le projet e-CoLab, Repères-IREM 72, French and English version at http://educmath.inrp.fr/Educmath/lectures/dossier_mutualisation/ CAME, le site de la communauté scientifique internationale Computer Algebra in Mathematics Education http://www.lkl.ac.uk/research/came/index.html , actes du colloque 2003 Learning in a CAS Environment: Mind-Machine Interaction, Curriculum & Assessment http://www.lkl.ac.uk/research/came/events/reims/ Drijvers, P., Trouche, L. (2008), From artifacts to instruments: a theoretical framework behind the orchestra metaphor, in K. Heid and G. Blume (eds.), Research on Technology and the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 363-392), Information Age., Charlotte, NC, Vol. 2. Cases and perspectives Gueudet, G., Trouche, L. (2009), Towards new documentation systems for mathematics teachers? Educational Studies in Mathematics 71, 199-218, http://springerlink.metapress.com/content/6600hx1254664n74/ Guin, D., Ruthven, K., Trouche, L. (eds.) (2005), The didactical challenge of symbolic calculators: turning a computational device into a mathematical instrument, Springer, New York Hoyles, C., Kalas, I., Trouche, L., Hivon, L., Noss, R., Wilensky, U. (2009), Connectivity and Virtual Networks for Learning, in J.-B. Lagrange, C. Hoyles (eds.), Mathematical Education and Digital Technologies: Rethinking the terrain, Proceedings of the 17th ICMI studies, Springer, New York. Kahane, J.-P. (dir.) (2000), Informatique et enseignement des mathématiques, en lignehttp://smf.emath.fr/Enseignement/CommissionKahane/RapportInfoMath/RapportInfoMath.pdf Kuntz, G. (dir.) (2007), Démarche expérimentale et apprentissages mathématiques, in Dossiers de la VST, en ligne http://www.inrp.fr/vst/Dossiers/Demarche_experimentale/sommaire.htm Maschietto, M., Trouche, L. (online), Mathematics learning and tools from theoretical, historical and practical points of view: the productive notion of mathematics laboratories, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. http://www.springerlink.com/content/48045470220u4073/ Trigueros, M., Lozano, D. (in progress), Teachers teaching mathematics with Enciclomedia, in G. Gueudet, B. Pepin, L. Trouche (eds.), Mathematics curriculum material and teacher documentation: from textbooks to shared living resources Trouche, L. (2004), Managing Complexity of Human/Machine Interactions in Computerized Learning Environments: Guiding Student's Command Process Through Instrumental Orchestrations, International Journal of Computers for Mathematical Learning 9, 281-307

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