Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …

Avertissement On n’a pas toujours pu déterminer de façon certaine si les proportions observées dans les œuvres architecturales et les ouvrages d’art révélaient une intention plus ou moins consciente de l'artiste, ou si ce n’était qu'une grille de lecture placée a posteriori sur une œuvre ( Il faut dans ce domaine rester modeste et ne pas vouloir à tout prix faire apparaître le nombre d'or partout )

Ces limites étant posées, on peut néanmoins présenter quelques exemples d'oeuvres où le nombre d'or semble jouer un rôle important…

Partons donc à la découverte du Nombre d’Or…

Un petit test : Regardez simplement chacun des rectangles de la diapositive suivante et retenez celui que vous jugez le plus harmonieux

Retenez bien le n° choisi… 1 2 3 4 5 6 Retenez bien le n° choisi…

Refaisons le même test … 2 1 3 4 6 5

Les rectangles d'or sont respectivement les nos ….

Les rectangles d'or sont respectivement les nos 3 et 4 ! Il paraît (*) que ces rectangles sont le plus souvent choisis... Leurs proportions donnent une belle impression d'harmonie . (*) D’après une étude du Philosophe allemand Gustav Feshner en 1876

Le rapport ------------- largeur vaut à peu près 1,62 longueur Le rapport ------------- largeur vaut à peu près 1,62

On désigne généralement le nombre d’or par la lettre grecque φ en hommage au sculpteur grec Phidias ( 490 à 430 avant J.C. ) qui décora le Parthénon à Athènes.

La « Section dorée » est une appellation qui remonte à 1830 . Elle était appelée par les Grecs « partage d’un segment en moyenne et extrême raison »

Principe : Dans un ensemble composé de 2 parties, le tout est à la plus grande comme celle-ci est à la plus petite . Ce principe est sensé réaliser en architecture , en peinture, en sculpture…, les proportions les plus équilibrées , les plus harmonieuses …

m partage le segment [ a , b ] selon ce principe si

m partage le segment [ a , b ] selon ce principe si Le tout a b m

m partage le segment [ a , b ] selon ce principe si Le tout La plus grande La plus grande a b m

m partage le segment [ a , b ] selon ce principe si Le tout La plus grande La plus petite La plus grande a b m

Un peu de math…

φ = La plus grande Le tout La plus grande La plus petite a b m

φ = La plus grande Le tout La plus grande La plus petite or a b m

φ = On a donc … a b m

φ = a b m

φ = φ φ φ a b m

Réduisons au même dénominateur… φ = 1 + φ

Une simple équation du 2eme degré… φ = 1 + φ φ 2 - φ - 1 = 0

L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car

L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car

L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car φ 1 = φ 2 =

L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car φ 1 = φ 2 = Seule la 1ère solution correspond à un point m

Constructions du Nombre d’Or

Une construction simple 1 2 a b Théorème de Pythagore

Traçons la parallèle à [ab] par le milieu de [ bc] … 1 2 a b

c 1 2 a b

prenons notre compas… c 1 2 a b

c 1 2 a b

c 1 2 a b

Et voilà le Nombre d’OR ! c 1 2 a b

Et voilà le Nombre d’OR ! a c 1 b 2

Variante… A nouveau Pythagore …

+

Rectangles d’Or Considérons un rectangle d’Or b a

Rectangles d’Or Inscrivons-y le plus grand carré possible b a

Rectangles d’Or b Carré b a - b a

Examinons le rapport des dimensions du rectangle obtenu Carré b b a - b a

Le nouveau rectangle obtenu est donc un rectangle d’Or a - b Le nouveau rectangle obtenu est donc un rectangle d’Or Carré

En inscrivant successivement le plus grand carré aux rectangles obtenus …

On obtient une succession de rectangles d’Or … Carré Rectangle d’or

On obtient une succession de rectangles d’Or … Rectangle d’or Carré

On obtient une succession de rectangles d’Or … Rectangle d’or Carré

On obtient une succession de rectangles d’Or … Carré Rectangle d’or

On obtient une succession de rectangles d’Or … Rectangle d’or

On obtient une succession de rectangles d’Or …

On obtient une succession de rectangles d’Or …

Spirale des rectangles d’Or

La spirale des rectangles d'or est une « fausse » spirale parce qu'elle est constituée d'arcs de cercles au lieu d'avoir une variation continue du rayon. Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car les centres des arcs sont à chaque fois situés sur la même droite et il y a une unique tangente à chaque point de raccordement .

Elle tend rapidement vers un centre Z . Le segment de droite qui joint le centre Z à un point de la courbe croît en progression géométrique. La longueur du rayon vecteur est multipliée par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour.

Cette spirale se rencontre beaucoup dans la nature

Nautile

Nautile

Nautile

Nautile

Nautile

Nautile

Nautile

Nautile

Nautile

Nautile

Nautile

Nautile modèle mathématique

Quelques repères Historiques…

Il y a 10 000 ans Premiers signes de la connaissance par l’homme ( Temple d’ANDROS découvert sous la mer des Bahamas )

2800 Avant J C : Pyramide de Kheops Selon la légende , les prêtres égyptiens disaient que « le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires » a h

Encore un peu de math… h H D’après Herodote a H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H a h H² = a.h

H² = a.h H a h h² - a² = a.h En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore…

H² = a.h H a h h² - a² = a.h Divisons les deux membres par ah :

H² = a.h H a h h² - a² = a.h Divisons les deux membres par ah :

H² = a.h H a h h² - a² = a.h Divisons les deux membres par ah : Posons

On retrouve l’équation qui nous a permis de trouver le nombre d’Or H a h On retrouve l’équation qui nous a permis de trouver le nombre d’Or Posons

φ donc la proportion entre la hauteur ( h) d'une face triangulaire et la moitié (a) du côté de la base est égale au nombre d’or a h φ

Pythagore (-580;-500)

Pythagore (-580;-500) mathématicien et philosophe grec était passionné par l'harmonie et  les proportions. Son traité sur la musique est célèbre. On lui doit la découverte de l'irrationalité de certains nombres : et que l'on trouve dans le nombre d'or et le pentagone régulier

Les Pythagoriciens voyaient dans les nombres les principes de toute chose Le  pentagramme était le symbole des pythagoriciens. 

Pentagones et décagones réguliers

Pentagone régulier C5 72°

Pentagone régulier C5 72°

Pentagone régulier C5 72°

Pentagone régulier C5 72°

Pentagone régulier C5 72°

Pentagone étoilé ( Pentagramme ) C5

Pentagone étoilé ( Pentagramme ) C5

Pentagone étoilé ( Pentagramme ) C5

Pentagone étoilé ( Pentagramme ) C5

Pentagone étoilé ( Pentagramme ) C5

d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

d a 72° C10 36° r 72° c b o j

Construisons la bissectrice aj de oâb 36° C10 36° 36° r 72° c b o j

d a 36° C10 36° 36° r 72° 72° c b o j

d a 36° C10 36° 36° r 72° 72° c b o j

d a 36° C10 36° 36° r 72° 72° c b o j S  aob  ajb

d a 36° C10 36° 36° r 72° 72° c b o j S  aob  ajb oa ab aj jb

d a 36° r C10 36° 36° r 72° 72° c b o j oa aj ab jb

d Le nombre d’Or est donc présent dans le décagone régulier a R C10 c b o

C5 E5 On montre aussi par les triangles semblables que

447-432 av.JC Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d’Or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d’Athéna Parténos .

Le Parthénon s’inscrit dans un rectangle doré

A G B E F D C =

Sur la toiture , on a aussi =

b Statue d’Aphrodite entre autre … n a

Le théatre d’Epidaure ( IVème siècle av.J-C )

les rapports et sont

Retenons bien les nombres 21 , 34 et 55 … On y reviendra dans quelques instants !

III ème siècle av. J-C. Premières traces écrites : Dans ses « Eléments », Euclide explique le partage d’un segment en « extrême et moyenne raison »

« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit » (Euclide , Eléments, livre IV , 3eme définition )

Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, est à l'origine du premier modèle mathématique de la croissance des populations.

Il étudia du point de vue numérique la reproduction des lapins.

L'unité de base est un couple de lapins, il considère qu'un couple de jeunes lapins met une saison à devenir adulte, attend une deuxième saison de gestation, puis met au monde un couple de jeunes lapins à chaque saison suivante

En supposant que les lapins ne meurent jamais …, on obtient donc le schéma suivant :

Lorsque l'on compte le nombre de couples de lapins à chaque saison, cela donne... la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610............ pour laquelle on a … 5 + 8 = 13 8 + 13 = 21 13 + 21 = 34 21 + 34 = 55 Etc… un = un-1 + un-2

Et revoici le Nombre d’Or … on remarque que le rapport entre un nombre de la suite et son précédent s'approche de plus en plus du nombre d'or:

Φ ~ 1,61803398… 21/13 ~ 1,615 34/21 ~ 1,619 144/89 ~ 1,617 610/377 ~ 1,618

Fibonacci dans la nature… La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens.

La fleur de tournesol forme deux séries de spirales tournant en sens contraire: 13 spirales partent de son centre dans une direction, 21 dans l'autre

Ananas :13 spirales à droite et 8 spirales à gauche

Escargot : la spirale de base

Les bâtisseurs de cathédrales Aux XIe et XIIe siècles ,héritière des traditions anciennes, l’organisation ouvrière du compagnonnage où les savoirs se transmettaient oralement de maître à « compagnon », a fait des règles du nombre d’or le principe du savoir-faire des bâtisseurs

Notre-Dame de Paris

Notre-Dame de Paris

Cathédrale de Strasbourg

a b c d p y o

Le célèbre Taj Mahâl, immense monument funéraire construit en Inde par un architecte persan assisté de nombreux compagnons de nationalités différentes, a été construit également selon les proportions du nombre d’or

Les coupoles de plusieurs basiliques et mosquées célèbres furent proportionnées selon la Section d'Or et elles reposent sur une base cubique, comme, par exemple, celles de la Basilique Sainte Sophie à Istanbul, de la Basilique Saint Pierre à Rome

Les bâtisseurs de cathédrales Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : la paume, la palme , l’empan, le pied et la coudée

Les bâtisseurs de cathédrales Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : la paume, la palme , l’empan, le pied et la coudée Coudée Paume empan palme

Coudée Pied empan palme Paume Lignes cm Paume 34 7,64 palme 55 12,63 empan 89 20 Pied 144 32,36 Coudée 233 52,36 Les longueurs étaient données en « lignes » ( une ligne mesurant 2,247 mm )

On retrouve les termes de la suite de Fibonacci !! Coudée Pied empan palme Paume Lignes cm Paume 34 7,64 palme 55 12,63 empan 89 20 Pied 144 32,36 Coudée 233 52,36 On retrouve les termes de la suite de Fibonacci !!

Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématique , écrit « De divina proportionne »

Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématique , écrit « De divina proportionne » Léonard de Vinci (1452-1519) a dessiné les polyèdres pleins ou creux qui illustrent le traité de Luca Pacioli, son « maître de géométrie ».

D E C Dans ce tableau de Jicopo de Barbari, où Fra Luca Pacioli explique un théorème , on a = 1,62

icosaèdre dodécaèdre

Pour Platon , le Dodécaèdre ne symbolise rien moins que l’Univers

Le visage de sa célèbre Joconde est inscrit dans un rectangle d’or Léonard de Vinci , philosophe humaniste de la renaissance, comme plusieurs autres peintres célèbres a utilisé la proportion d’Or dans ses toiles Le visage de sa célèbre Joconde est inscrit dans un rectangle d’or

Le Saint Jérome de Leonard de Vinci est aussi parfaitement intégré dans un rectangle d’or

L’Annonciation ( Leonard de Vinci ) x y a m c b

Leonardo de Vinci est aussi célèbre par ses observations du corps humain

L'Homme est inscrit dans un cercle L'Homme est inscrit dans un cercle. Quand il lève les bras et a les jambes écartées, le centre du cercle correspond au nombril. S'il se tient jambes serrées et bras à l'horizontale, il s'inscrit dans un carré.

Le nombril divise la hauteur de l'homme en deux segments qui sont dans le rapport d'Or Le rapport entre la distance comprise entre l'extrémité de la main droite et l'épaule gauche et celle comprise entre l'épaule gauche et l'extrémité de la main gauche correspond au Nombre d'Or.

Dessin de Leonard de Vinci ( sans doute autoportrait ) certains des rectangles de la grille sont des rectangles d’Or

L’homme parfait d’Aggripa Von Nettesheim ( 1553) (Médecin, philosophe et alchimiste allemand )

Bien que les peintres aient souvent travaillé en se laissant guider par un sens inné de l’harmonie des volumes et des formes , la construction géométrique de la peinture dans certaines œuvres n’est pas le fruit d’une spéculation, mais bien une réalité.

L'étude de l’illustration des Grandes Chroniques de France peintes par Jean Fouquet a été l’occasion de vérifier l’existence d’un trou de compas dans une scène mettant en œuvre le pentagone régulier

Voici quelques autres exemples Souvent, le peintre, place l’élément, le personnage ou l’événement dans la section dorée du tableau pour que le regard du spectateur y soit naturellement attiré Voici quelques autres exemples

La Naissance de Venus ( Boticelli )

La Naissance de Venus ( Boticelli )

L’Adoration des Mages ( Velasquez )

Le format du tableau correspond à un rectangle d’Or  Le tableau s'organise autour de la diagonale.  Les visages de Marie et du personnage qui est à ses côtés s'inscrivent également dans un Rectangle d'or.

Plus contemporains Pablo Picasso

La Parade ( Seurat )

h i g f e a

B A Le « Sacrement du Dernier Repas » de Salvator Dali (1904-1989) est peint à l’intérieur d’un rectangle d’or et des proportions dorées auraient été utilisées pour positionner les personnages

B A une partie d’un gigantesque dodécaèdre symbolisant l’Univers surplombe la table

Autres exemples d’utilisation de la proportion d’Or en architecture…

Renaissance Italienne Santa Maria Novella ( Florence )

Tempietto de Bramante ( Rome )

Villa Farnese ( Rome )

La Villa Farnese est bâtie suivant un plan pentagonal

Un dessin de Francesco Giorgio Martini associe la forme du corps humain et le plan d'une église le rapport des dimensions est analogue à celui de San Spirito à Florence conçue par Brunelleschi (1377-1446)

San Spirito (Florence ) Rectangle Rectangle d’Or San Spirito (Florence )

Château de Thoiry L’architecture de Philibert de L’Orme dans ce château est entièrement réglée par les nombres. Les proportions des ailes, fenêtres, cheminées… sont toujours basées sur la longueur du château selon des sous-multiples des entiers fondamentaux 1 , 2 , 3 et 5

Château de Thoiry ( Philibert de L’Orme ) le nombre d’or y joue un grand rôle ; le vestibule a les proportions de la chambre funéraire de la pyramide de Cheops

Un plan de porte Rectangle d’or Rectangle « √2 »

Cette proportion fut étudiée à l' époque moderne  puisque Le Corbusier, architecte français d’origine suisse (1887;1965) l'a immortalisée dans Le Modulor.        

Présenté en avril 1947 par le Corbusier, Le Modulor est un système de mesure basé sur les proportions du corps humain

Dessin et photo de la maison d’Amèdée Ozenfant par Le Corbusier

Chapelle de Ronchamps ( Le Corbusier )

Faut-il voir le nombre d’Or partout ??? Collection "Pratique du dessin et de la peinture", Bordas, 1973. Tiré du semestriel des "Amis de Hergé" n° 6 du mois de décembre 1987

Recherches réalisées par les élèves de 5LM-SA au cours de Math complémentaires de Mr Colin

Soufiane Fatima Bilal

Chanthim Laetitia Youness

Ikram Farah

Nadir Suleyman Ayoub Imad Rani Suleyman Ayoub Imad

Sources : http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm http://www.bib.ulb.ac.be/coursmath/rectangl.htm http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Fibonacci.html http://www.rtsq.qc.ca/aiguillart/projet/rech/artmath/no_or/intropas.htm http://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/etablis/lycees/craponne/or/partheno.htm http://users.hol.gr/~helen/index.files/LE%20NOMBRE%20DOR%202.htm http://www.ac-nice.fr/artsap/fichedocumen/nombredor.html http://www.thoiry.tm.fr/thfhchno.htm http://www.tintin.be/fr/doss_fr/regl1_fr.html

Enseignement général - humanités complètes Ville de Bruxelles - Athénée Léon Lepage rue des Riches Claires 30 1000 Bruxelles  02 /548 .27 .10 Courriel: sec.lepage@brunette.brucity.be http://www.brunette.brucity.be/lepage/index.html Enseignement général - humanités complètes 1e,2e,3e latines, modernes ( orientation sciences ou économie ) 4e,5e,6e latin-mathématique, latin-sciences 4e,5e,6e Modernes, scientifiques A et B , sciences humaines, sciences économiques et langues modernes Cours de rattrapage-Prêt du livre - Sports dans le cadre scolaire. Séjours à l’étranger. Ecole des devoirs , tutorat interne et tutorat ULB , programme « Clé pour l’Adolescence », Agora des Libertés