Extension latérale du déferlement Y. Pomeau (1), T. Jamin (2), M. Le Bars (2), P. Le Gal (2) & B. Audoly (3) (1) LPS-ENS, (2) IRPHE, (3) LMM

Equation de Burgers 1D (sans viscosité) : Formation d’un choc en un temps fini: Analyse de la solution au voisinage de la singularité

ou Poisson (1808) Singularité : dx/du=0 1 ère singularité : dt/du=0 => Soit en inversant f =u 0 -1 t x U(x,t) Première singularité Tangente verticale

Redéfinition de l’origine des temps et invariance par transformation Galiléenne Développement de Taylor de la fonction f Lois d’échelle au voisinage de la singularité Courbe noireCourbe bleue

Équations de Burgers 2D Formation d’un choc : singularité en temps fini

Calcul de Y. Pomeau: Équations de Burgers 2D où J(t) est la matrice Jacobienne dx dy = J(t) du dv ()() det(J) = On peut appliquer tout opérateur linéaire M qui modifie le repère mais pas l’ordre du développement de Taylor de F et G xyxy = uvuv ()() M M - t () FGFG M

Redéfinition de l’origine des temps & invariance par transformation Galiléenne => singularité à t = x = y = u = v = 0. Développement de Taylor : det(J)=a t + b u + c v + d u 2 + e uv + f v 2 +… 1 ère singularité : dt/du= dt/dv =0 b = c = 0 Il faut donc chercher les développements de F et G à l’ordre 3 pour que det(J) soit à l’ordre 2 = 0 Singularité quand solution multivaluée det(J) = 0 et Valeur propre 0 de J(t=0) associée avec la direction x = 00 0 (vague se propageant suivant x) Dans le repère qui diagonalise J, une des valeurs propres s’annule Pour u =v =t =0

à l’ordre le plus bas et en remplaçant dans la solution : Après mise à l’échelle, équation générique du déferlement 2D : Lois d’échelles : u ~ y ~ t 1/2 et x ~ t 3/2 Vérification expérimentale : le déferlement s’étend en t 1/2 selon y change le support de la courbe (v~y) -vt est négligeable par rapport à c’ disparaît par transformation Galiléenne u u+ey

Vagues en eau peu profonde avec h = h 0 + h, h<<h 0, h 0 <<  ~~ Effets de dispersion (KdV) négligeables pour [longueur] = h 0 [vitesse] = (gh 0 ) 1/2  Taille caractéristique suivant x h0 h0 Effets capillaires négligeables pour  grand

Donc les 2 équations se ramènent à O(0), donc induit une correction dh ~ t, négligeable lois d’échelles : h ~ u ~ v ~ y ~ t 1/2 x ~ t 3/2 ~ ~ Changement de variable w = u + 1 (on se place dans le référence de la crête) Termes de l’équation de Burgers Solution vague simple u ~ h ~ w ~

Equivalence avec l’équation de Burgers aux premiers ordres On retrouve les ’équations de Burgers 2D, avec ses lois d’échelles: Lois d’échelles : u ~v~ y ~ t 1/2 & x ~ t 3/2 Extension latérale de la zone déferlée en t 1/2 Vérification expérimentale Induit une correction dv ~ cte et ~ t sur la solution, négligeable

Étude expérimentale en eau peu profonde

Dispositif expérimental: table à eau Fond horizontal ou légèrement incliné. Soliton rectiligne (suivant y) de hauteur 6.3mm à 10.6mm et d’extension ~5cm (suivant x), sur une profondeur d’eau de 15.5mm à 22.5mm. Visualisation par ombroscopie & enregistrement par caméra rapide (2800fps sur un carré de 32.5cm de côté). Vue de dessus Vue de côté Approximations théoriques OK : grand rapport d’aspect, faible amplitude et dispersion négligeable …

Observation du déferlement Durée du film 41s  temps réel 0.37s Profondeur d’eau 17.4mm Hauteur de vague 8.0mm Vague = ligne blanche (crête) et ligne noire (front)  focalisation & défocalisation de la lumière par l’interface

Diagramme espace-temps Progression de la vague : vitesse constante de 0.41m/s en accord avec la valeur théorique (gh 0 ) 1/2. dans la direction de propagation

Superposition d’images séparées par quelques ms Amélioration du contraste en prenant le gradient horizontal y x  t Diverses sources de déferlement qui se rejoignent rapidement, puis progression vers l’extérieur Progression du déferlement (1) Initiation (2) Extension latérale

Analyse systématique de 50 expériences (fond horizontal, bathymétrie >0 et <0) Progression latérale en racine du temps est un comportement générique. Etudes des lois d’échelles

Perspectives Exploitation plus complète de l’expérience existante : profil vertical de la vague, mesures de vitesses, … Nouvelles expériences de déferlement de vagues : variations de la hauteur de vague et de la profondeur d’eau sur de grandes gammes. Autres systèmes : ressaut hydraulique, choc sonore (3D)

Et pourquoi pas à très très grande échelle?