La géométrie tropicale présentée par

Le lycée d'Altitude de Briançon Le lycée Saint-Louis de Stockholm Le collège Fontreyne de Gap

a Å b = min{a;b} a Ä b = a+b On définit deux nouvelles opérations : Par exemple :

Les propriétés des opérations tropicales

I/ Les éléments neutres Exemple : a×1=a Pour la multiplication tropicale, a Ä b = a+b

I/ Les éléments neutres Pour l'addition tropicale, a Å b = min{a;b}

II/ La multiplication tropicale On peut changer l'ordre des facteurs d'un produit. Pour calculer un produit de plusieurs facteurs, on peut placer des parenthèses où on veut. a Ä b = a+b

III/ L'addition tropicale On peut changer l'ordre des termes d'une somme. a Å b =b Å a Pour calculer une somme de plusieurs termes, on peut placer des parenthèses où l'on veut. (a Å b) Å c = a Å (b Å c) a Å b = min{a;b}

IV/ La division tropicale La division tropicale correspond à la soustraction que l'on connaît. On ne peut pas changer l'ordre des nombres dans une division. S'il y a plusieurs divisions successives, on ne peut pas mettre des parenthèses où l'on veut.

V/ La soustraction tropicale La soustraction tropicale n'existe pas.

VII/ Les fractions tropicales aÄb = a+b

PROPRIETE : soit n un entier naturel VIII ) Les carrés et les identités remarquables de la géométrie tropicale Nous prendrons d’abord le carré tropical : x ’²’ x’²’ = x ⊗ x  x’²’ = x + x = 2x Exemple : 4’²’ = 4 ⊗ 4  4’²’ = 4 + 4 = 8 A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale: PROPRIETE : soit n un entier naturel x ’n’ = x ⊗ x … = x + x … = nx n fois n fois

VIII ) Les identités remarquables de la géométrie tropicale Voyons l’identité remarquable (a+b)² (a  b)’²’ = min {a ; b} ⊗ min {a ; b} = min {a ; b} + min {a ; b} = 2 x min {a ; b} A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale: PROPRIETE : soit n un entier naturel (a  b)’n’ = an  bn

VIII ) Les racines n- ièmes On sait que : x '^' 2 = 2 × x

VIII ) Les racines n- ièmes Si on prend un entier naturel n : on a 'RACINEn'( x '^' n ) = x. Donc 'RACINEn'(x) = x / n.

Représentations graphiques : 1er et 2nd degré

1er degré – Représentation graphique Cas général : y = (ax)  b Équivalent à y = min { a + x ; b } Droite en deux morceaux Morceau croissant Morceau constant Point De Cassage

1er degré - Partie Croissante  Le morceau croissant correspond à la partie de l’équation y = a + x tant que x ≤ b-a  La droite a un coefficient directeur de 1

1er degré - Point de Cassage  Le point de cassage est le point où la fonction devient constante  On peut déterminer les coordonnées de ce point. En effet, son abscisse est solution de l’équation a+x=b. Or a+x=b  x = b-a. On en déduit donc les coordonnées de ce point : (b – a ; b).

1er degré - Partie Constante  La fonction est constante

1er degré – Aspect algébrique On peut déterminer les solutions de l’équation : y = axb qui équivaut à y = min{a+x ; b} Le résultat sera a+x si a+x < b pour x Є ] -∞ ; b-a[ Le résultat sera b si a+x > b pour x Є [ b-a ; +∞[

Exemple : (2  x)  3 (b - a ; b) = (3 – 2 ; 3) = (1 ; 3)

2nd degré - Les 2 sortes de droites Pour le 2nd degré, il existe deux sortes de courbes : une en deux morceaux et une en trois morceaux. Nous avons cherché à savoir quand nous avions deux morceaux et quand nous en avions trois. Nous avons donc décomposé une équation du type y = (ax²)(bx)  c en trois parties : ax² ; bx et c.

2nd degré – Exemple 1 : y = (3x²)(5x)  10 2 Points de Cassage, Il y a trois morceaux

2nd degré – Exemple 2 : y = (3x²)(5x)  7 1 Point de Cassage, Il y a un deux morceaux

2nd degré – Nombres de morceaux Nous avons trouvé que lorsque les deux premières droites se coupent en un point dont l’ordonnée est supérieure ou égale à b il y aura 2 morceaux , sinon il y aura trois morceaux. 2 morceaux 3 morceaux L’ordonnée est supérieure ou égale à b L’ordonnée est inférieure à b

2nd degré – Représentation graphique Cas général : y = (ax2)(bx) c Équivalent à y = min ( a+2x ; b+x ; c ) Droite en 3 parties Point de Cassage 2 Point de Cassage 1 Partie Constante Partie croissante 1 Partie croissante 2

2nd degré –Partie croissante 1  Correspond à la partie de l’équation y = a+2x tant que x>b-a  Son coefficient directeur est 2

2nd degré – Point de Cassage 1  Ses coordonnées sont ( c-a ; b-a)

2nd degré – Partie croissante 2  Correspond à la partie de l’équation b+x tant que b-a<x<c-b  Son coefficient directeur est 1

2nd degré – Point de Cassage 2  Ses coordonnées sont (c - b; b)

2nd degré – Droite constante  La fonction est constante

Loi générale sur les polynômes Si on a le polynôme tropical : P(x)= (an  xn)  (an-1  xn-1)  …  (a1 x)  a0 Il équivaut à : P(x) = min {an + nx ; an-1 + (n-1)x ; … ; a1 + x; a0} Graphiquement, on obtient une succession de droites avec des pentes décroissantes de n à 0.

Premier problème de géométrie Soit une droite d et un point A extérieur à la droite d. Peut-on tracer une droite parallèle à d passant par A ?

Deuxième problème Si on prend deux points du plan. Peut-on tracer une droite passant par ces deux points ?

Si le point B est dans une zone verte, il n'existe pas de droite (tropicale) passant par A et B Si le point B est dans une zone jaune, il existe une droite (tropicale) passant par A et B Si le point B est sur une des droites bleues, il existe une infinité de droites (tropicales) passant par A et B