TP5: Dérivation

Rappels théoriques Formules standards de dérivées

A. Exercices du syllabus Q68  4) ((2x²-1) 5 )’= 5 (2x²-1) 4 (2x²-1)’ = 5 (2x²-1) 4 4x  8)  9) (cos²x)’= 2cosx(cosx)’ =-2 cosx sinx  10) (cosx²)’= -sinx²(x²)’ = -2xsinx²

A. Exercices du syllabus Q68  12)  13)(x³cos2x)’= 3x²cos2x+x³(-sin2x)(2x)’ = 3x²cos2x-2x³sin2x

A. Exercices du syllabus  20)  23)

A. Exercices du syllabus  24)  34)

A.Exercices du syllabus  41)

A.Exercices du syllabus Q72: soit f une fonction de période 2 tq f(t)=1-t² pour -1≤t<1. Que vaut sa dérivée en 265,3?  f’(t)=-2t si t entre -1 et 1  265<t<267 f’(265,3)=-2. -0,7=1,4

A.Exercices du syllabus Q75: solution versée dans un filtre conique à la vitesse de 3cm³ par seconde, et s’écoule à raison de 1cm³ par seconde. Rayon supérieur du filtre vaut 10cm et sa profondeur vaut 30cm. A quelle vitesse monte le niveau lorsque celui-ci a atteint 10cm? 20cm?  Solution monte à 2cm³/s = dV/dt  rapport entre h et r : r= h/3  Volume d’un cone=  r²h/3

A.Exercices du syllabus Q80: les graphes de f(x)=x² et g(x)=x²-2x+1 se coupent au point p. Que vaut p? Montrer que f et g se coupent à angle droit.  1) x²=x²-2x+1 => 2x-1=0 => x=1/2 => y=1/4  2)f’(1/2)=2.1/2=1 et g’(1/2)=-1  tangentes perpendiculaires

A. Exercices du syllabus Q84: déterminer le maximum, la valeur de x qui annule la dérivée, f(6) et f’(6)  Maximum: 3,9  Dérivée nulle: aucune  f(6)=4-3.3/4=7/4  f’(6)=-3/4

A. Exercices du syllabus Q85. Tracer le graphe de la dérivée de  Quand la fonction monte, la dérivée est positive  Quand la fonction descend, la dérivée est négative  Quand la concavité est vers la bas, la dérivée est décroissante  Quand la concavité est vers le haut, la fonction est croissante

A. Exercices du syllabus Q93: cylindre droit à base circulaire est inscrit dans une sphère de 12cm de rayon. Quelle est la hauteur du cylindre pour laquelle l’aire latérale a une valeur extreme? Le volume? S’agit-il d’un maximum ou de minimum?  Rayon=12cm  Rcyl=  Aire latérale  Dérivée de l’aire latérale :  Dérivée s’annule en  Aire latérale = 288 

A. Exercices du syllabus Q96: A midi, un navire A se trouvait à 10km à l’est d’une certaine bouée et se dirigeait vers l’O à la vitesse de 20km/h. A la meme heure, B se trouvait à 40km au sud de la bouée et se dirigeait vers le N à la vitesse de 30km/h. Quelle heure est-il à l’instant ou la distance entre A et B est minimum?  D= bouéeA B  d(A,bouée)=10-20t  d(B,bouée)=40-30t

A. Exercices du syllabus  D=  Dérivée  Dérivée s’annule en 14/13d’heure

B. Exercices supplémentaires 1) Droite => tangente = coefficient angulaire de la droite  tg(P1)=tg(P2)  dérivéeP1= dérivée P2  Dérivée =2

B. Exercices supplémentaires 1) P1= maximum local  Dérivée =0 P2= se trouve sur la courbe descendante  dérivée négative  dérivée =-2

B. Exercices supplémentaires 2) Fonction décroissante =>derivée négative Fonction croissante =>derivée positive concavité vers haut =>derivée croissante concavité vers bas =>derivée décroissante

B. Exercices supplémentaires 2) Fonction croissante => dérivée positive Graphique d’une cubique => dérivée est une parabole

B. Exercices supplémentaires 2) Fonction degré deux  dérivée de degré 1 = droite Fonction décroissante  dérivée négative Fonction croissante  dérivée positive

B. Exercices supplémentaires 2) Fonction décroissante, puis croissante, décroissante et à nouveau croissante  Dérivée négative,puis positive, négative et à nouveau positive

B.Exercices supplémentaires 3) a) Dérivée n’existe pas en 0; 1; 4

B.Exercices supplémentaires 3) b) Dessiner la dérivée [-4;0[:coefficient angulaire= 0,5 0: n’existe pas ]0;1[:Coeff angulaire négatif =-4 ]1;4[:Fonction constante  dérivée= 0 ]4;6[: Fonction croissante  Coefficient angulaire positif = 2

C. Test 1. 2.B 3. C

C. Test 4. AA 5. 22