Le théorème de Ptolémée par Genbauffe Catherine

La figure Posons: |AB| = a |BC| = b |CD| = c |DA| = d |AC| = p |BD| = q

Enoncé n°1 Le produit des longueurs des diagonales d’un quadrilatère convexe inscrit est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés : pq = ac + bd

Démonstration On a donc p = |AC| et q = |BD|  q = |BE| + |ED| On remarque que les triangles ABC et AED sont semblables On a donc : |AB|/|AE| = |AC|/|AD| = |BC|/|ED| En remplaçant les segments par le nom des côtés, on obtient : a/|AE| = p/q = b/|ED|

On remarque également que les triangles ABE et ACD sont semblables. On a donc: |AB|/|AC| = |AE|/|AD| = |BE|/|CD| En remplaçant les segments par le nom des côtés, on obtient : a/p = |AE|/d = |BE|/c

Pour les premiers triangles semblables, prenons l’égalité: p/d = b/|ED| Pour les seconds, choisissons l’égalité : a/p = |BE|/c Si on applique la propriété disant que le produit des extrêmes égale celui des moyens, on a : ac = p.|BE| et bd = p.|ED| Et donc si on additionne ces deux égalités, on obtient: ac + bd = p (|BE| + |ED|) = pq

Enoncé n°2 Le rapport des longueurs des diagonales d’un quadrilatère convexe inscrit est égal au rapport des sommes des produits des longueurs des côtés issus des extrémités de ces diagonales: p/q = (ad+bc)/(ab+cd)

Démonstration: 1ère partie Avant tout, prouvons que le produit des longueurs de deux côtés d’un triangle est égal au produit du diamètre du cercle circonscrit par la hauteur correspondant au 3ème côtés: |AB|.|AC| = |AE|.|AD|  |AB|/|AE| = |AD|/|AC| |AB|/|AD| = |AE|/|AC| Transformons l’égalité donnée dans l’énoncé. Donc |AB|.|AC| = |AE|.|AD| devient alors bc = 2Rh (R étant le rayon) Si on multiplie les deux membres par a, on a : abc = 2R.a.h = 2R.2S Et donc, abc = 4.R.S Grâce à cette égalité nous allons maintenant pouvoir prouver que: p/q = (ad+bc)/(ab+cd)

Démonstration: 2ème partie L’égalité précédente nous permet de déterminer l’aire de triangle: S= abc/4R Déterminons l’aire du quadrilatère ABCD en le décomposant en deux triangles par rapport à la diagonale p: Le triangle ABC et le triangle ADC

Donc grâce à l’égalité : S = abc/4R On peut dire que l’aire du triangle ABC = abp/4R Et que l’aire du triangle ADC = dcp/4R L’aire du quadrilatère ABCD vaut donc: abp/4R + dcp/4R = p.(ab+dc)/4R

Déterminons, à présent, l’aire du quadrilatère ABCD en le décomposant en deux triangles par rapport à la diagonale q: Le triangle ABD et le triangle BCD

Donc grâce à l’égalité : S = abc/4R On peut dire que l’aire du triangle ABD = adq/4R Et que l’aire du triangle BCD = bcq/4R L’aire du quadrilatère ABCD vaut donc: abq/4R + dcq/4R = q.(ad+bc)/4R

On sait donc que: - L’aire du quadrilatère ABCD vaut: abp/4R + dcp/4R = p.(ab+dc)/4R abq/4R + dcq/4R = q.(ad+bc)/4R • On peut donc égaler les deux résultats précédents p.(ab+dc)/4R = q.(ad+bc)/4R • Et donc en simplifiant et en divisant, on obtient: p/q = (ad + bc)/(ab + cd)