Elaboration d'une séquence Thème choisi : le théorème de Pythagore Réflexe 1 : consulter les programmes Connaissances : Triangle rectangle : théorème de Pythagore Capacités : - Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore. - Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres. Commentaires : On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On considère que l’égalité de Pythagore caractérise la propriété d’être rectangle. Commentaires : On note très clairement la co-existence de deux capacités, qui relèvent de deux compétences différentes. L'une est purement calculatoire, opérationnelle (elle utilise la propriété directe), l'autre appartient au domaine du raisonnement géométrique (comment démontrer qu'un triangle est rectangle, ou ne l'est pas). Le choix, dans le cadre d'une progression spiralée sur l'année, est de séparer entièrement ces deux objectifs, de se concentrer sur l'aspect calculatoire, et de revenir à la caractérisation du triangle rectangle après un premier travail sur la démonstration en géométrie.

Elaboration d'une séquence Thème choisi : le théorème de Pythagore Réflexe 2 : repérer ce qui relève du socle commun Connaissances : Triangle rectangle : théorème de Pythagore Capacités : - Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore. - Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres. Commentaires : On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On considère que l’égalité de Pythagore caractérise la propriété d’être rectangle. Dans ce cas de figure, la totalité des connaissances relève du socle, et du niveau quatrième de surcroît. Ce qui signifie deux choses : - la notion est censée être à la portée d'un élève de quatrième, sans difficulté majeure - son importance est grande Ceci est un choix institutionnel; on pourrait se demander pourquoi Pythagore, pourquoi en quatrième, pourquoi ce théorème précisément relève de la culture commune davantage que celui de l'inscription dans un demi-cercle, par exemple. Pourquoi Thales et pas la trigonométrie

Elaboration d'une séquence Thème choisi : le théorème de Pythagore Réflexe 3 : s'approprier la notion N'ouvrir aucun manuel Ecrire les propriétés et leurs démonstrations (être au clair d'un point de vue mathématique) Choisir l'approche qui semble la plus naturelle (pour soi) S'inspirer de l'histoire Distinguer l'objet de l'outil Faire la liste de toutes les situations possibles Ne garder que les basiques Mettre les autres de côté pour y revenir plus tard (spirale) Concevoir l'activité de départ Mettre en place les pré-requis Enfin, consulter les manuels Finaliser sa progression Mettre en place l'évaluation Pour ma part, le choix est clairement géométrique. Travail sur les aires... Ainsi, le passage aux longueurs va être une activité en soi... Dialectique objet/outil : objet: ce qui relève du concept proprement dit, de son apprentissage et de sa compréhension outil: dans quelles occasions s'en sert-on? Pour résoudre quel type de problème? Ici, on commence clairement par étudier l'objet; le théorème de Pythagore est un objet d'étude (les fonctions sont un exemple de concept étudié d'abord pour son utilité; son sens viendra de son utilisation et sa capacité à résoudre des problèmes) Pour l'évaluation, calculer une longueur dans un triangle rectangle: Nombre de triangles (un ou plusieurs) Type de côté (côté de l'angle droit ou hypoténuse) Situation: monde physique ou mathématique Initiative: aucune, un peu, beaucoup (complexité de la situation géométrique) Avec l'introduction du socle, chaque connaissance nouvelle s'inscrit dans 4 types de compétences: Rechercher, extraire et organiser l'information utile Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l'aide d'un langage adapté. Compétences du socle

La confusion entre les concepts d'aire et de longueur Les difficultés constatées au fil des années ... La confusion entre les concepts d'aire et de longueur Le lien entre l'aire d'un carré et son côté (davantage dans ce sens-là) La notation carrée La distinction entre l'hypoténuse et les autres côtés Les conditions d'application du théorème La rédaction des calculs La démonstration du théorème

Mise en place des pré-requis, activité faite en séance de contruction géométrique Tracer à main levée des carrés de différentes tailles, et dans différentes positions. Tracer à main levée des triangles rectangles de différentes tailles, et dans différentes positions. Tracer à main levée un triangle rectangle, puis les trois carrés formés sur ses côtés ; recommencer plusieurs fois. Reprendre la consigne 3 avec les instruments, en prenant comme dimensions des côtés perpendiculaires 6 cm et 8 cm.

Activité de départ (puzzle de Perigal) Tracer un carré de 6 cm de côté, et un deuxième de 8 cm de côté, nommé ABCD. Tracer, à l'intérieur du carré ABCD, des segments comme sur la figure, où AE = 1 cm. Analyse de la figure obtenue : description, observation, conjectures Construction du puzzle : avec les 5 pièces obtenues, obtenir un carré Comparaison avec le carré formé sur l'hypoténuse (collage dans le cahier). Formulation par les élèves, orale, puis écrite dans le cahier, la plus précise possible. Généralisation par le professeur (propriété admise) Il ne s'agit pas de leur faire découvrir la propriété; il y aura bien d'autres occasions pour cela, celle-là n'est pas naturelle. Il s'agit de la leur expliquer; la visualiser, puis, éventuellement, la démontrer. C'est une occasion de travailler sur la notion d'aire, surtout. Est plus ou moins formulée (en tout cas constatée) que l'aire rouge plus l'aire bleue est égale à l'aire verte. Comment cela se fait-il? Peut-on l'expliquer? En tout cas, on peut l'illustrer grâce à l'une des nombreuses démonstrations; je choisis celle des deux puzzles du même carré. Le principe en esi la conservation des aires par découpage, déplacement et recomposition. Remarque: rien n'interdit de remarquer que ça ne fonctionne que dans les triangles rectangles; qu'il s'agit d'une caractéristique; la propriété ne sera de toute façon pas énoncée sous la forme si... alors...; elle peut fonctionner dans tous les sens; le travail sur les hypothèses et la conclusion se fera plus tard. Périgal n'est pas une démonstration à la portée des élèves; travail plutôt sur l'observation, les angles, on peut démontrer des angles droits, la recherche d'un carré avec ces 5 pièces. Pour démontrer la propriété, une animation type Euclide est préférable (ou les 4 triangles rectangles), mais à ne pas formaliser en classe.

Trace écrite En tois orthogôniois trigônois to apo tês tên orthên gônian hupoteinousês pleuras tetragônon ison esti tois apo tôn tên orthên gônian periechousôn pleurôn tetragônois. Dans les triangles rectangles, le carré sur le côté tendu sous l'angle droit est égal aux carrés sur les côtés qui soutiennent l'angle droit. Dans un triangle rectangle, le carré formé sur l'hypoténuse a pour aire la somme des carrés formés sur les côtés de l'angle droit. Puisqu'il en faut une... autant s'amuser En avoir une de prête, mais privilégier toujours la formulation des élèves, si on arrive à en avoir une bonne. Noter que la formulation n'est pas en si …, alors …; il est trop tôt pour cela; forme privilégiée lorsque le théorème sera utilisé. Nous sommes encore dans l'apprentissage du concept proprement dit, il est plus simple de l'envisager comme une caractéristique du triangle rectangle (ainsi que préconisé par les programmes) Maintenant, il va falloir l'ancrer dans les têtes; les premiers exercices sont purement oraux et restent géométriques.

I - Les triangles verts ci-dessous peuvent-ils être rectangles? Premiers exercices, pour s'approprier le théorème I - Les triangles verts ci-dessous peuvent-ils être rectangles?

I bis - Les triangles verts ci-dessous peuvent-ils être rectangles ? Premiers exercices, pour s'approprier le théorème I bis - Les triangles verts ci-dessous peuvent-ils être rectangles ? Noter que toutes les aires sont mesurées en carré d'entiers (des fois qu'un élève se demanderait si un tel carré existe, et la question, bien que bonne, est encore prématurée)

II - Trouver l'aire manquante Premiers exercices, pour s'approprier le théorème II - Trouver l'aire manquante J'espère que vous avez noté qu'il n'est toujours pas question de longueur. Sachant que la question a boulversé l'Antiquité, elle mérite une approche précautionneuse.

III - Trouver la longueur manquante Premiers exercices, pour s'approprier la propriété III - Trouver la longueur manquante Enfin les premiers calculs de longueur... D'abord en calcul mental, puis...

III - Trouver la longueur manquante Premiers exercices, pour s'approprier la propriété III - Trouver la longueur manquante Enfin les premiers calculs de longueur... Et ils ne sont pas évidents à trouver; pas question de leur donner la touche "racine carrée"; le concept de carré n'est même pas encore vraiment en place. C'est l'occasion, d'ailleurs, quand on calcule l'aire d'un carré, de donner la notation 5² pou 5*5 Attention, on n'en est pas encore à AB²; on y va doucement... Toutes les longueurs manquantes sont ici entières. Par exemple, pour le premier, il s'agit de trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 7 225 = 36²+77² = 1 296 + 5 929 = 85². C'est un problème que les élève doivent résoudre tous seuls. On met en place une démarche, avec explication écrite par eux. Procédure par tatonnement … Les deux autres: 65²+72² = 4 225 + 5 184 = 9 409 = 97² 13² + 84² = 169 + 7 056 = 7 225 = 85² Je fais ici une pause dans le chapitre pour introduire la notion de racine carrée...

Activité qui semble n'avoir aucun rapport !!! Construire deux carrés de côté 5 cm chacun. Peut-on trouver un moyen de les découper et de reconstituer les morceaux autrement, de façon à obtenir un carré ? Quelle est l'aire du carré obtenu ? Quel est le côté du carré obtenu ? Se pose la question de l'existence d'un nombre dont le carré est 50 (par exemple). C'est la même histoire que la commensurabilité de racine de 2. Ce travail doit être fait pour comprendre (un peu) la notation avec radical. La recherhce du côté peut prendre le reste de l'heure. Il est possible, pour les petits malins qui connaîtraient la touche „radical“, les redoublants par exemple, de leur faire poser la multiplication (à 12 chiffres) pour prouver que le nombre donné par la calculatrice est en réalité arrondi. Les encore plus malins devraient vite le savoir car la dernière décimale est non nulle (mais moi, jen'ai pas d'élèves aussi savants). Bref, on va bien finir par admettre que ce nombre, on ne peut pas l'attraper et qu'il va falloir se contenter d'une valeur approchée. On va lui donner un nom, la racine carrée de 50, et travailler sur cette nouvelle notion. Ce qui permet un travail sur les arrondis, au passage...

S'ensuit un cours magistral sur ... Le carré d'un nombre définition liste des carrés des 15 premiers entiers (+25) à apprendre par coeur la notation «carré» lien avec l'aire d'un carré transition avec le nombre dont le carré est 50 Ce nombre n'est pas dans la liste (entre 49 et 64) touche «Racine carrée» n'est pas un nombre décimal ; il est irrationnel. La racine carrée d'un nombre positif définition (compliqué) Lien avec la longueur d'un côté du carré quelques exercices basiques d'entraînement pour les exercices, voir fichier .pdf joint

Retour à la propriété de Pythagore IV - Trouver la longueur manquante ou bien : Le triangle RIP est rectangle en I ; IR = 28 ; PI = 75 ; calculer PR. ou bien : Le triangle RIP est rectangle en I ; IR = 28 ; PR= 75 ; calculer IP. N'imposer aucune rédaction-type a priori, mais faciliter au fur et à mesure celles des élèves selon leur propre degré d'avancement pour les exercices, voir fichier .pdf joint

On va un peu plus loin... V- Problèmes à rédiger Résolution orale en classe Rédaction individuelle Correction individuelle pour les exercices, voir fichier .pdf joint

Synthèse à propos de la propriété de Pythagore Reformulation du théorème, si nécessaire - Relation de Pythagore à écrire sous la forme classique A quoi sert-il ? A quelle(s) condition(s) ? Résolution d'un exercice-type, avec une proposition de rédaction correcte, en distingant les deux sens. Evaluation, quelques temps plus tard. Retours réguliers en calcul mental sur les carrés, racines carrées et calculs de longueurs en utilisation de Pythagore dans différents problèmes plus tard, après le travail sur la démonstration, travail sur des rédactions plus abouties. pour les exercices, voir fichier .pdf joint

Savoir utiliser des compétences et des connaissances mathématiques Organisation et gestion de données : reconnaître des situations de proportionnalité, utiliser des pourcentages, des tableaux, des graphiques. Exploiter des données statistiques et aborder des situations simples de probabilité Nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires. Mener à bien un calcul mental, à la main, à la calculatrice, avec un ordinateur Géométrie : connaître et représenter des figures géométriques et des objets de l’espace. Utiliser leurs propriétés Grandeurs et mesure : réaliser des mesures (longueurs, durées, …), calculer des valeurs (volumes, vitesse, …) en utilisant différentes unités

Savoir utiliser des compétences et des connaissances mathématiques Organisation et gestion de données : reconnaître des situations de proportionnalité, utiliser des pourcentages, des tableaux, des graphiques. Exploiter des données statistiques et aborder des situations simples de probabilité Nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires. Mener à bien un calcul mental, à la main, à la calculatrice, avec un ordinateur Géométrie : connaître et représenter des figures géométriques et des objets de l’espace. Utiliser leurs propriétés Grandeurs et mesure : réaliser des mesures (longueurs, durées, …), calculer des valeurs (volumes, vitesse, …) en utilisant différentes unités

Pratiquer une démarche scientifique, résoudre des problèmes Rechercher, extraire et organiser l'information utile Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l'aide d'un langage adapté.