Les puissances de 10

Si on souhaitait déterminer le volume du Soleil En supposant que le Soleil soit une boule, on aurait : V Mètres cubes. Imaginez qu’il faille effectuer des calculs avec ce nombre ! Comment Lire ce nombre ?

Combien font : 10 × 10 × 10 × 10 ? 10000 Combien font : 10 × 10 ? 100 Combien font : 100 × 10 ? 1000 10000 Combien font : 100 × 100 ? Qu’observe-t-on ? En fait, on compte les zéros et on les ajoute, c’est cela que l’on va utiliser ….. Pour effectuer un produit particulier, on fait une addition de zéros !!!!

le nombre suivant : Notons 103 10 × 10 × 10 Ou encore 1 000 ! Combien y a-t-il de facteurs dans ce produit, dans ce « nombre » ? 103 = 10 × 10 × 10 = 1000 Il y en a : 1 2 3 Ainsi 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 00000 5 facteurs égaux à 10, 5 zéros après le 1 …

Exercice : 105 = 103 = 101 = 104 = 100 = 100 000 1 000 10 10 000 1 1 000 000 = 100 = 100 000 000 = 10 = 1 = 106 102 108 101 100

Après avoir observé de grands nombres Intéressons-nous aux petits nombres… Problématique : Lire le nombre qui donne la taille d’un proton : 0,000000000000000000000000001667 g Comment faire ? Compter les chiffres après la virgule, les zéros et le reste ….

Notons 10-5 : Le nombre constitué : uniquement de 0 et de 1 qui a 5 chiffres après la virgule 5 chiffres significatifs En fait : 0 , 0 0 0 0 1 5 chiffres après la virgule 5 zéros et un « 1 » 5 chiffres significatifs

On note 10-5 le nombre : 0 , 0 0 0 0 1 Mais 0 , 0 0 0 0 1 C’est Car 105 = 1 00000 C’est aussi : Nous pouvons alors noter : 0 , 0 1 Ainsi :

1 chiffre après la virgule Exercice : 10-1 = 0, 1 10-3 = 0, 0 0 1 10-6 = 0, 0 0 0 0 0 1 10-4 = 0, 0 0 0 1 10-0 = 1 10-9 = 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Opération et puissances de 10

( 2 + 3 = 5 ) 102 × 103 = 105 10 × 10 × 10 × 10 × 10 2 Facteurs égaux à 10 et 3 Facteurs égaux à 10 Font 5 On compte les facteurs égaux à 10 On peut noter 105

101 × 104 = 105 1+4 = 5 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 facteur et 4 facteurs font 5 facteurs Et on note …. 105 0+3 = 3 100 × 103 = 1 × 10 × 10 × 10 = 10 × 10 × 10 = 103 0 Zéro après le 1 3 facteurs égaux à 10 0 facteur et 3 facteurs font 3 facteurs Et on note …. 103

En résumé, pour multiplier les puissances de 10 On ajoute les exposants… Un peu d’exercice….. 105 × 102 = 10 5 + 2 = 107 1012 × 100 = 10 12 + 0 = 1012 10448 10421 × 1027 = 10 421 + 27 =

Et si les exposants étaient négatifs ! ? ! … 10-3 × 10-2 = × = Mais 103 × 102 = 103+2 = 105 D’où 10-3 × 10-2 = = 10-5 Et ( - 3 ) + ( - 2 ) = ( - 5 ) Là encore, on ajoute les exposants….

En résumé, pour multiplier les puissances de 10 On ajoute toujours les exposants… Un peu d’exercice….. 10-5 × 10-2 = 10 - 5 + ( - 2 ) = 10-7 10-12 10-12 × 100 = 10 -12 + 0 = 10-448 10-421 × 10-27 = 10 – 421 - 27 =

Et si les exposants sont de signes contraires ? 102 × 10-3 = × = = = = = 10-1 2 + ( - 3 ) = 2 – 3 = - 1 Là encore, on ajoute les exposants….

10n × 10p = 10 n + p Dans tous les cas, on ajoute les exposants; On peut donc écrire : Pour n et p nombres entiers relatifs, On a : 10n × 10p = 10 n + p

Exercice : 10-3 × 10 2 = 10 – 3 + 2 = 10-1 10 12 10 9 × 10 3 = 10 9+3 = 10-143 10-128 × 10-15 = 10 – 128 - 15 = 105 × 10-2 = 10 5 + ( - 2 ) = 10 3 10 0 10-7 × 10 7 = 10 -7 + 7 =

Comment calculer ? = = = 10-1 2 – 3 = ( - 1 ) Et = 10-1 On soustrait les exposants ….

De la même manière : = = 7 – 5 = 2 Et = 102 On soustrait les exposants ….

Comment améliorer l’écriture de ? = = = = 101 101 = Et ( - 2 ) – ( - 3 ) = - 2 + 3 = 1 On soustrait encore les exposants ….

Un peu plus vite …. ? = = = = 107 107 = Et 2 – ( - 5 ) = 2 + 5 = 7 On soustrait encore les exposants ….

Encore un pour la forme…. ? = = = = 10-2 10-2 = Et ( - 7 ) – ( - 5 ) = - 7 + 5 = - 2 On soustrait encore les exposants ….

Dans tous les cas, on soustrait les exposants; On peut donc écrire : Pour n et p nombres entiers relatifs, On a :

Exercice : 107 103 10-4 105 10-5 10-23 10-48 10 7- 3 = 10 4 10 -4-5 = 10 -9 10 3-(-5) = 10 8 10-23-(-48) =1025 10-9 105 10-8 108 104 1 10 -9-5 = 10 -14 10 -8-8 = 10-16 10 4-5 = 10 -1 10 - 5