Mécanique du point Introduction Cinématique: études de trajectoires Dynamique Les lois de Newton Des forces aux trajectoires Cinématique : bases locales et systèmes de coordonnées 4. Dynamique : Lois de conservation Travail, forces conservatives, énergie Application : l’oscillateur harmonique

Rappel du Chapitre 2 : Les lois de Newton 2.1.1 Principe d’inertie (1ère loi de Newton) En l’absence de forces extérieures, un point matériel est animé d’un mouvement rectiligne uniforme 2.1.2 Principe fondamental de la dynamique (2ème loi de Newton) Si un point matériel est soumis à une force extérieure, son mouvement est accéléré de sorte que 2.1.3 Principe de l’action et de la réaction (3ème loi) Si un point matériel m1 exerce sur le point m2 la force , alors réciproquement, m2 exerce sur m1 la force inverse telle que Isaac Newton (1642 - 1727) m1 m2

2.6 Théorème du moment cinétique 2.6.1 Moment d’une force Le moment par rapport à A d’une force exercée sur un point M est donnée par 2.6.2 Moment cinétique Soit M un point matériel de masse m et vitesse   Le moment cinétique par rapport à un point A est donné par A M A’ M Remarque : ces moments dépendent du point de référence   Notion de couple : Si la résultante des forces appliquées est nulle, le moment total des forces devient indépendant du point A. On appelle couple ce moment total

A M A’ M

2.6 Théorème du moment cinétique Calculons la dérivée temporelle PFD ! Avec on trouve

2.6 Théorème du moment cinétique Calculons la dérivée temporelle PFD ! Avec on trouve

2.6 Théorème du moment cinétique Calculons la dérivée temporelle PFD ! Avec on trouve

2.6 Théorème du moment cinétique Une force centrale avec son centre à l’origine est définie par Dans ce cas la dérivée du moment cinétique est nulle, et on obtient une loi de conservation importante : Pour un corps soumis à une force centrale, le moment cinétique est conservé. (Symétrie de rotation) Conséquences Le moment cinétique étant à tout moment perpendiculaire à la vitesse.

Mécanique du point Introduction Cinématique: études de trajectoires Dynamique Les lois de Newton Des forces aux trajectoires Cinématique : bases locales et systèmes de coordonnées 4. Dynamique : Lois de conservation Travail, forces conservatives, énergie Application : l’oscillateur harmonique

Chapitre 3 : Lois de conservation 3.1.1 Travail Soit un champ de force défini à chaque point de l’espace Le travail élémentaire  M1 M2 Le travail total est donnée par la circulation du champ de force le long de la trajectoire  Le travail W est fourni en déplaçant un point matériel m dans ce champ le long d’une trajectoire  de M1 à M2.

W<0 travail résistant Avec la composante tangentielle de la force et l’abscisse curviligne, on a   = projection de la force sur la trajectoire (la composante normale ne travaille pas, comme par exemple la réaction normal d’un support) Puissance : travail fourni par unité de temps (‘‘travail instantané’’ ou taux de travail) 3.1.2 Théorème de l’énergie cinétique L’énergie cinétique d’une masse m de vitesse v est définie par Quelle que soit la force, on a Travail moteur et resistant Donc la puissance est la dérivée temporelle de l’énergie cinétique   W>0 travail moteur W<0 travail résistant

3.1.3 Exemple Une masse m soumise au poids tombe de M1(0 ,y0,z1) à M2(0 ,y0,z2). Le travail élémentaire s’intègre facilement y z M2 M1 z1 z2 Puissance Avec on retrouve le Théorème de l’Energie Cinétique Comme Alors

Théorème de l’énergie cinétique pour une force conservative : ΔEc=W 3.2 Forces conservatives et énergie potentielle Si une force peut s’écrire comme le gradient d’une fonction Ep     il s’agit une « force conservative », et Ep est « l’énergie potentielle ». z x y M1 M2 Définition du gradient on voit que le travail fourni par une force conservative est égal à la différence entre l’ énergie potentielle en M1 et M2. Théorème de l’énergie cinétique pour une force conservative : ΔEc=W = -ΔEp Remarques Pour une force conservative, le travail W ne dépend pas du chemin d’intégration , mais seulement des points de départ et d’arrivée. Tout chemin menant de M1 à M2 fournit ce même travail Pour une boucle fermée (M1 égal à M2), le travail est nul ! L’énergie potentielle est définie à une constante près, souvent on exige Ep=0 à l’infini ou à l’origine

Comment savoir si une force est conservative ? Voici quelques exemples de forces dérivant d’une énergie potentielle : Poids : . Force de gravitation : . Force de Coulomb : . Potentiel harmonique : Remarques : Certaines forces ne dérivent pas d’une énergie potentielle, c’est le cas des forces de frottement fluides et solides, de la réaction normale, … Comment savoir si une force est conservative ? Le rotationnel d’un champ de gradient étant nul, on a       On cherche la primitive de la force si elle existe ! (par exemple, la force ne doit pas dépendre de la vitesse) Si c’est le cas on a

Em=Ec+Ep=const. 3.3 Conservation de l’énergie mécanique Le Théorème de l’énergie cinétique assure dEc =δW Dans le cas d’une force conservative, on a, de plus, δW = - dEp. Les variations des énergies cinétique et potentielle sont donc opposées, Séparément, Ec et Ep changent au cours du temps; mais, dans le cas d’une force conservative, leur somme reste constante. On appelle énergie mécanique cette somme. L’énergie potentielle stocke et restitue de l’énergie cinétique (sans perte) Em=Ec+Ep=const. Par conséquent, l’énergie totale est conservée La force est conservative l’énergie mécanique est constante dans le temps   Démonstration

3.4 Conservation du moment cinétique Une force centrale avec son centre à l’origine est définie par Le moment de cette force par rapport à O est nul Dans ce cas la dérivée du moment cinétique est aussi nulle, et on obtient une loi de conservation importante : Pour un corps soumis à une force centrale, le moment cinétique est conservé. (Symétrie de rotation)  

3.5 Energie potentielle et stabilité des positions d’équilibre   Stabilité des positions d’équilibre Minimum local de l ‘énergie potentielle  Equilibre stable Maximum local de l ‘énergie potentielle  Equilibre instable   (Xinitial) Si xinitial<x2’ : on a Ep(xinitial)>E2, alors le mobile va à l’infini vers les x positifs. Si x2’<xinitial<x2 : on a E1<Ep(xinitial)<E2, alors le mobile est piégé autour de x1 : un mouvement oscillant.   Si xinitial>x2 : on a Ep(xinitial)<E2, alors le mobile va à l’infini vers les x positifs.

xm x Ep(x) 3.6 L’oscillateur harmonique Pour beaucoup de systèmes physiques, l’énergie potentielle est une fonction trop compliquée pour pouvoir résoudre les équations du mouvement. Ep(x) x Si le système est confiné dans un petit domaine autour du minimum de l’ énergie potentielle, on peut celle-ci approcher par un développement limité,   C’est l’approximation la plus répandue en physique ! Elle est valable tant que l’écart de la position d’équilibre est petit.

3.6.1 L’oscillateur harmonique en 1 dimension Après substitution de x-xm par x, le potentiel devient   D’où l’équation du mouvement ou équation de l’oscillateur harmonique Avec on a l’équation caractéristique Dont les racines sont avec la pulsation D’où la solution générale avec des coefficients complexes   Les solutions physiques sont réelles ( ) et peuvent s’écrire sous plusieurs formes Equation différentielle d’ordre deux à coefficients constants -> deux constantes (x0 et φ ou A et B) à relier aux contions initiales (position et vitesse) x(t)=A cos(𝜔t)+B sin(𝜔t)

Un système physique est appelé oscillateur harmonique, si l’énergie potentielle est quadratique en x, y, … donc si la force est linéaire en x, y, … (Loi de Hooke) si les oscillations sont de forme sinusoïdale x(t)=A cos(𝜔t)+B sin(𝜔t) x(t)=- A𝜔 sin (𝜔t)+B 𝜔 cos (𝜔t) Les coordonnées et vitesses varient alors périodiquement avec le temps, avec la période du mouvement et la fréquence La pulsation ω est indépendante de l’amplitude (Isochronisme) Quelques exemples Mouvement des atomes dans un solide Système de l’équilibre vertical de l’oreille interne Vibrations d’une membrane Toutes les théories des champs : Laser, boson de Higgs, …

2.6.2 Etude de l’énergie Energie mécanique Energie cinétique Energie potentielle Avec la définition mω2 = k on a Donc les énergies cinétique et potentielle varient avec le temps, pendant que l’énergie totale est conservée.

l φ 3.6.3 Exemple : le pendule L’énergie potentielle Le développement limité du cosinus donne On ne retenant que l’ordre quadratique, on a   . L’équation du mouvement   équation de l’oscillateur harmonique dont la solution est de la forme Choix des conditions initiales On obtient alors

3.6.4. L’oscillateur harmonique en 3 dimension L’énergie mécanique d’un point matériel s’écrit Pour chaque composante on a La force est radiale Par conséquent, le moment cinétique est conservé, et le mouvement plan. x y On choisit le plan x-y, donc z = 0. Avec les conditions initiales On trouve C’est une ellipse avec l’origine au centre,