PROPRIETES DE LA TURBULENCE

Production d'une gamme d'échelles caractère universel

Cascade de Richardson U L

Re>>1 Temps nécessaire pour "se casser" en tourbillons plus petits : L/U = (L2/)/Re L, U Temps nécessaire pour dissiper son énergie par diffusion moléculaire : L2/ Dissipation visqueuse Puissance injectée dans l'écoulement est entièrement déterminée par les premières étapes qui sont indépendantes de la viscosité

La puissance moyenne injectée par la grande échelle dans la cascade par unité de masse: Pour une turbulence statistiquement stationnaire en énergie : La puissance dissipée par unité de masse <> ne dépend pas de la viscosité.

Dépendance avec la viscosité Couple adimensionné (U et )

Base de la théorie de A. Kolmogorov ISOTROPIE : il existe une échelle <L à partir de laquelle, les mouvements ont oublié le contexte inhomogène et anisotrope par lequel la turbulence a été produite. à cette échelle , le nombre de Reynolds est 1,  est l'échelle de dissipation visqueuse

H1 H2

Interprétation à la Richardson =LRe-3/4 Profondeur de la gamme d'échelles : L/

Profondeur de la gamme d'échelles : L/ =LRe-3/4 Contenu spectral de l'énergie cinétique en échelles spatiales Succès de la théorie Pour tout Re, l'échelle de dissipation est bien donnée par  Profondeur de la gamme d'échelles : L/ =LRe-3/4

Problématiques de la turbulence Coût du calcul pour la résolution numérique des équations de NS. Profondeur de la gamme d'échelles : L/ ~Re3/4 Nombre de points de maillage : Nombre de pas de temps : Voiture, train, avion, turbulence atmosphérique : Re>>106 D'où l'idée de modéliser la cascade sans avoir à résoudre toutes les échelles...

Décomposition en : un champ moyen caractéristique du forçage un champ fluctuant caractéristique de la cascade

Décomposition de Reynolds Idée : moyennage des équations de Navier Stokes Moyenne d'ensemble : On répète N fois la même expérience, et on moyenne les N réalisations qui ont été obtenues au bout du temps t. Moyenne temporelle : Ergodicité si les deux moyennes coïncident.

U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement U Visualisation

U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement U Champ de vitesse + Vorticité

U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Moyenne temporelle : Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement U Champ de vitesse + Vorticité Moyenne temporelle :

U Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle : Moyenne d'ensemble : Sillage d’un cylindre en oscillation forçée par l’écoulement U Moyenne d'ensemble :

Axiomes (importants pour pratiquer le moyennage des équations de NS) Pour toutes prises de moyennes (ensemble ou temporelle) :

Equations de Reynolds Décomposition (moyenne temporelle) :

Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes

Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes

contrainte isotrope de pression moyenne contrainte visqueuse moyenne Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes Pour le champ moyen : accélération contrainte isotrope de pression moyenne contrainte visqueuse moyenne contrainte turbulente moyenne Contraintes de Reynolds

Les contraintes de Reynolds sont des contraintes de l'objet : "écoulement moyen" Pour l'écoulement instantanné, les seules contraintes sont celles liées à la pression et à la viscosité (Navier- Stokes)

Bilan d'énergie cinétique L'énergie cinétique par unité de volume : En intégrant sur tout l'écoulement

Bilan d'énergie cinétique fluctuante Equation de l'écoulement fluctuant Bilan d'énergie cinétique fluctuante L'énergie cinétique fluctuante par unité de volume : Redistribue Production Chaleur

"Boîte de l'ingénieur" "Boîte du Physicien" Turbulence stationnaire en énergie, et isotrope : "Boîte de l'ingénieur" modèle pour les contraintes de Reynolds Ecoulement moyen Modèle de viscosité turbulente pour des écoulements autosimilaires "Boîte du Physicien" Cascade turbulente Formation des petites structures à partir de Navier Stokes et densité spectrale d'énergie.

Bilan d'énergie cinétique L'énergie cinétique par unité de volume : En turbulence la viscosité n'est plus une grandeur pertinente pour l'écoulement moyen (Premières étapes de la cascade de Richardson).

En intégrant sur tout l'écoulement Puissance transférée à l'agitation turbulente = Puissance dissipée pour l'écoulement moyen

Propriétés des deux champs liées à l'incompressibilité Le champ moyen est incompressible

puisque : Propriétés des deux champs liées à l'incompressibilité Le champ fluctuant est aussi incompressible

La composante i de l'équation de Navier Stokes : avec Equation de l'écoulement moyen

Faisons apparaitre les contraintes de l'écoulement moyen Rappel pour les contraintes visqueuses ' d'un écoulement Newtonien : Pour l'écoulement moyen, elles sont : Force visqueuse moyenne :