Nancy Paris 1912 La naissance du chaos: Jules Henri Poincaré

La mécanique céleste avait obtenu des résultats éclatants pendant les siècles XVIIIe et XIXe, par contre il y a encore une question fondamentale sans réponse à la fin du XIX e siécle: Est-il toujours possible d'intégrer les équations d’un système dynamique quelconque? Ç'a été toujours la conviction à la base des efforts des physiciens, mais personne n'avait prouvé la possibilité de réaliser ce programme Un problème irrésolu

Poincaré démontre que les “systèmes intégrables” sont plutôt des exception que le cas ordinaire. Ça signifie qu'il n’est pas possible de parler d'orbite dans la majorité de systèmes dynamiques Une thèse choquante Les études de Poincaré ont été conduites sur les propriétés géometriques des solutions des équations de la dynamique.

Un exemple de système intégrable (1) v 0 On peut décrire un système sur un plan (espace des phases) où nous marquons la position et la vitesse; dans le cas d’une pendule la position est l’angle calculé de la position d’équilibre. Si l’énergie est petite, la trajectoire est une courbe fermée

Un exemple de système intégrable (2) Mais si l’énergie est suffisamment grande, alors la pendule bouge autour du point de suspension, et la trajectoire dans l’espace des phases devient ouverte. v 0

Un exemple de système intégrable (3) Donc, il y a deux familles de courbes dans l’espace des phases: - courbes fermées (oscillations - noir); - courbes ouvertes (rotations - bleu). Entre les deux il y a une courbe particulière: la séparatrice (rouge). v 0

Un exemple de système intégrable (4) On peut prevoir le comportement de la pendule très facilement: la pendule représente un système intégrable, le système intégrable par antonomase. Toutefois, nous pouvons récupérer des idées à propos des systèmes qui ne sont pas intégrables (systèmes non intégrables). La separatrice est la courbe qui correspond au mouvement tel que la pendule se porte à la position verticale en la rejoignant avec une vitesse nulle (dans un temps infini).

Du système intégrable au non-intégrable Si on part de la position de la “pendule verticale” (correspondant à un équilibre instable) et qu'on donne une petite perturbation, alors la pendule gagne de l'énergie et commence à tourner, mais la direction du tour (démi-plan supérieur ou inférieur) ne peut pas être établie a priori: le système a 50% de possibilité de bouger dans une direction ou dans l’autre. Quand un système peut atteindre deux (ou plusieurs) régimes différents on parle de bifurcations. Une bifurcation correspond à un comportement qui ne peut pas être prévu

Les systèmes non intégrable La majorité des sytèmes ne sont pas simple comme la pendule: leurs bifurcations (atteintes en changeant un paramètre qui pour la pendule est l’énergie) sont beaucoup plus compliquées, parce qu'on retrouve des “suites” de bifurcations qui vont se concentrer jusqu’à un point où le système montre un comportement chaotique. La dynamique chaotique peut être interprétée comme une dynamique réglée par les lois du hasard, mais il y a des différences entre chaos et hasard: par rapport au hasard, le chaos permet de faire des prévisions sur l’évolution d’un système, limitées dans le temps. Le chaos n’est pas gouverné par les lois du hasard.

Un système chaotique La dynamique des fluides est riche de comportements chaotiques; l’eau qui sort d’un robinet montre un flux régulier, mais si nous ouvrons un peu plus le robinet, alors la turbulence, correspondant au chaos, fait son apparition. petite vitessegrande vitesse La transition au chaos est réglée par une valeur critique d’un paramètre lié à la vitesse de sortie.

Une découverte très “utile” La découverte de Poincaré, après plusieures dizaines d’années se revèle très riche en conséquences. Aujourd’hui il y a plusieurs applications pour la théorie du chaos qui est née des études de Poincaré, aussi au dehors de la physique; on la retrouve, par exemple dans: - la biologie (évolution des populations); - la médecine (études sur les épidémies); - la finance (évolution des marchés); - la météorologie;

Une cause très petite, et qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la Nature et la situation de l’Univers à l’instant initial, nous pourrions prédire la situation de ce même Univers à l’instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation initiale qu’approximativement. La conclusion de Poincaré (1) Si on regarde un système chaotique, on ne peut pas s'imaginer qu'il y a au-dessous une loi déterministe, plutôt, on essaie avec les lois du hasard. Nous allons réfléchir avec Poincaré:

La conclusion de Poincaré (2) Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois ; mais il n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit.