Le belge : une espèce en voie de disparition ? Un contexte démographique dans les leçons de mathématiques. CREM, Nivelles, 07/05/08 Johan Deprez cfr. (cliquez Documenten)

2 Présentation enseignement supérieur académique non-universitaire, mathématiques dans le Bachelor des sciences commerciales agrégation mathématiques revue Uitwiskeling pour les enseignants de mathématiques du secondaire en Flandre

3 Le belge : une espèce en voie de disparition ?

4 Etudier l’évolution du nombre d’habitants de la Belgique.

De la réalité au modèle mathématique

6 Fiche de travail 1 - données Population Belge par âge et sexe au 1 janvier 2003 Probabilités de survie pour hommes et femmes Taux de fécondité par âge de la femme (Belgique, 1997 (!)) PAS DE DONNEES SUR LA MIGRATION -ne cadre pas dans le modèle mathématique -séparer l’évolution interne de la population de la migration éclaire le rôle du phénomène de la migration ! NOUS ETUDIONS L’EVOLUTION DE LA POPULATION BELGE ADMETTANT QUE ‘LA PORTE SOIT FERMEE’ !

7 Fiche de travail 1 – question 3 dans quelle année ces garçons sont-ils nés? quel est l’âge de leur mère...?... au moment de la naissance du garçon?... au 1 janvier 2003? tous les enfants ne sont pas des garçons! quelques-unes de ces femmes meurent entre le 1 janvier 2003 et... quelques-uns de ces garçons meurent entre leur naissance et le 1 janvier 2009

8 Fiche de travail 1 – question 2 nombre de femmes âgées de 35 ans au 1 janvier 2005 probabilité de survie d’une femme âgée de 34 ans probabilité de survie d’une femme âgée de 33 ans nombre de femmes âgées de 33 ans au 1 janvier 2003

9 Fiche de travail 1 – question 3 un garçon âgé de 3 ans au 1 janvier 2009 est né en 2005 (!) sa mère avait 15, 16, 17, … ou 49 ans au 1 janvier 2005 sa mère avait 13, 14, 15, … ou 47 ans au 1 janvier 2003 il y a des garçons qui meurent entre 2005 et 2009 il y a des femmes qui meurent entre 2003 en 2005 tous les enfants ne sont pas des garçons

10 Fiche de travail 1 – question 3 nombre de femmes âgées de 15 ans au 1 janvier 2005 nombre d’enfants nés d’une femme ayant 15 ans en 2005(?) nombre de garçons nés d’une femme ayant 15 ans en 2005 nombre de garçons ayant 3 ans au 1 janvier 2009 et qui sont nés d’une femme ayant 15 ans au 1 janvier 2005 nombre de garçons nés d’une femme ayant 16, 17, … ou 49 ans au 1 janvier 2005

11 Fiche de travail 1 – question 4 Nous travaillons toujours avec les mêmes probabilités de survie et les mêmes taux de fécondité. En réalité ces données ne sont pas constantes (L’ INS fait des projections basées sur l’évolution des probabilités de survie et des taux de fécondité dans le passé !) …

12 Fiche de travail 2 - introduction classes d’âge de 20 années plus de distinction entre hommes et femmes probalitités de survie et taux de fécondité arrondis à 2 décimales Âge1 janvier 2003 taux de fécondité probalilité de survie TOTAL évolution de la population par intervalles de 20 années (le temps qui est nécessaire pour avancer d’une classe d’âge) calculs selon les mêmes principes, mais moins étendus

13 Fiche de travail 2 – question = le nombre d’enfants par personne (homme/femme !) dans la première classe pendant une période de 20 ans l’ âge des parents est entre 0 (?) et 40 (!) ans 0.98 = la probabilité qu’une personne appartenant à la première classe survive une période de 20 ans

14 Fiche de travail 2 – question 2 Âge 1 janvier janvier 2023 taux de fécondité probabilité de survie TOTAL en deux étapes: d’abord  0.98  0.96  0.83  0.30

15 Fiche de travail 2 – question 2 Âge 1 janvier janvier 2023 taux de fécondité probabilité de survie TOTAL en deux étapes: d’abord  0.34  0.01  0.43

16 Fiche de travail 2 – question 2 Âge 1 janvier janvier janvier TOTAL en deux étapes: d’abord et alors 2043

17 Fiche de travail 2 – question 3 Taux de dépendance %

18 Un outil mathématique plus évolué taux de fécondité population au 1 janvier 2003 matrice de Leslie probabilités de survie

19 Un outil mathématique plus évolué de 2003 à 2023: X 1 = L·X 0...

20 Un outil mathématique plus évolué de 2003 à 2023: X 1 = L·X 0 de 2023 à 2043: X 2 = L·X 1 de 2043 à 2063: X 3 = L·X 2... relation récursive: X n = L·X n-1 = L·L·L·X 0 = L 3 ·X 0 relation explicite: X n = L n ·X 0

Deux observations concernant l’évolution à long terme

22 Première observation à long terme: graphiques montrent une régularité commune y=a/x? décroissance exponentielle?... passage du babyboom à ‘court’ terme

23 Première observation Après … périodesIIIIIIIVV ,7%-17,0%- 4,3%28,7%34,3% 2-16,1%-15,7%-17,0%- 4,3%28,7% 3-15,9%-16,1%-15,7%-17,0%-4,3% 4-16,0%-15,9%-16,1%-15,7%-17,0% 5-16,0% -15,9%-16,1%-15,7% 6-16,0% -15,9%-16,1% taux de croissance: à long terme, le nombre de personnes dans chaque classe diminue de 16% dans chaque période de 20 ans

24 Première observation à long terme: le nombre de personnes dans chaque classe et la population totale =...·0.84 t (t = temps, en unités de 20 ans) à long terme: (dé)croissance exponentielle 0.84 = taux de croissance à long terme (sur périodes de 20 ans) population réduite de moitié sur 4 périodes de 20 ans

25 Première observation Extrapolation (sans migration !) des caractéristiques actuelles, donne une décroissance relativement rapide de la population ! Néanmoins: ‘grossir’ les caractéristiques de la société actuelle; si nous avions fait l’exercice pour l’an 1950 au lieu de 2003, le résultat serait totalement différent ! Ce n’est pas une prédiction réaliste (migration pas prise en compte, taux de fécondité et probabilité de survie ne seront pas constants,...) !

26 Deuxième observation apr è s... p é riodes 0-19 (I)20-39 (II)40-59 (III)60-79 (IV)80-99 (V) %27.46%27.56%17.77%3.97% %23.50%27.19%23.59%5.50% %22.27%25.35%25.36%7.95% %22.04%25.24%24.84%8.98% %22.07%25.20%24.95%8.87% %22.06%25.22%24.90%8.91% %22.06%25.21%24.92%8.89% %22.06%25.22%24.91%8.90% %22.06%25.21%24.92%8.90% %22.06%25.21%24.91%8.90% %22.06%25.21%24.91%8.90% à long terme la distribution d’âges atteint un équilibre distribution d’âges équilibrée

27 La deuxième observation est une conséquence de la première à long terme: le nombre de personnes dans chaque classe diminue du même pourcentage  l’importance relative des classes ne change pas à court terme: le nombre de personnes dans chaque classe diminue/augmente de pourcentages différents  l’importance relative des classes change

28 Une conséquence de la deuxième observation le taux de dépendance ne continuera pas à augmenter, mais s’équilibrera:

29 Conclusion Si les taux de fécondité et les probabilités de survie restent constants (!) et si il n’y a pas de migration, alors: le nombre de personnes dans chaque classe d’âge évolue selon une (dé)croissance exponentielle; le taux de croissance correspondant est appelé le taux de croissance à long terme la distribution d’âge atteint un équilibre, appelé la distribution d’âge équilibrée

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Déterminer la distribution d’âges équilibrée mathématiquement (supposant que le taux de croissance à long terme est connu)

32 Déterminer la distribution d’âges équilibrée mathématiquement à long terme:X n  0.84·X n-1, ou: X n+1  0.84 · X n cela implique: L · X n  0.84·X n si n est grand il existe une distribution d’âges limite/équilibrée: première observation: deuxième observation: et l’approximation devient meilleure si n augmente (où t n représente la population totale)

33 Déterminer la distribution d’âges équilibrée mathématiquement (1) la distribution d’âges équilibrée X satisfait le systéme lineaire L·X = 0.84·X (2)... et à la condition que la somme des éléments soit 1 (100%) combiner les deux observations:

34 Condition (1) la distribution d’âges équilibrée X satisfait le système linéaire L·X = 0.84·X E peut être choisi librement

35 Condition (2) trouver E tel que la somme des éléments égale 1: apr è s... p é riodes 0-19 (I)20-39 (II)40-59 (III)60-79 (IV)80-99 (V) %22.06%25.21%24.92%8.90% %22.06%25.21%24.91%8.90% %22.06%25.21%24.91%8.90%

36 Synthèse Modèle de Leslie avec matrice de Leslie L et taux de croissance à long terme connu distribution d’âges équilibrée X? (1) satisfait le système linéaire L·X = ·X (2) et la condition que la somme des éléments soit 1 (100%)

Déterminer le taux de croissance à long terme mathématiquement

38 Déterminer le taux de croissance à long terme mathématiquement Le système linéaire L·X = 0.84·X a une infinité de solutions. Cette propriété est caractéristique pour le nombre Le taux de croissance à long terme est un nombre (positif) pour lequel le système L·X = ·X a une infinité de solutions!

39 Déterminer le taux de croissance à long terme mathématiquement Le taux de croissance à long terme est un nombre (positif) pour lequel le système L·X = ·X a une infinité de solutions!

40 Déterminer le taux de croissance à long terme mathématiquement det (L-I 5 ) = 0 le taux de croissance à long terme est le seul zéro positif de cette fonction

41 Synthèse λ est une solution (l’unique solution positive) de l’équation det(L-I n ) = 0 taux de croissance à long terme λ? Modèle de Leslie avec matrice de Leslie L

Valeurs et vecteurs propres d’une matrice...

43 De l’example à la mathématique le taux de croissance à long terme est une valeur propre de la matrice L la distribution d’âges équilibrée est un vecteur propre de la matrice L Définitions A une matrice de dimensions nn Un nombre λ est une valeur propre de A ssi det(A-λI n )=0. Un vecteur X(0) est un vecteur propre de A avec valueur propre λ ssi AX=λX

44 Modèles de Leslie Théorème (sous des conditions indulgentes) (1)L a exactement une valeur propre strictement positive 1 (2)Il existe un vecteur S, qui est vecteur propre de L avec valeur propre 1 dont les composantes sont strictement positives et ont pour somme 1 (3)Pour chaque condition initiale X n /t n converge vers S (où t n représente la population totale). le taux de croissance à long terme la distribution d’âges équilibrée

45 Expériences étudiants 2 ième Ba Science Commerciales à partir de la deuxième fiche de travail jusqu’à la fin + étude de valeurs et vecteur propres in général élèves du secondaire pendant la ‘semaine des sciences’ du début jusqu’aux deux observations y compris le fichier de tableur et parfois aussi le calcul mathématique de distribution d’âges équilibrée étudiants de l’agrégation et professeurs de mathématiques

46 Pourquoi? laisser éprouver aux élèves/étudiants que construire un modèle mathématique nous oblige à faire des approximations et des simplifications montrer que des concepts mathématiques sont des outils (pas nécessairement en dehors de la mathématique) mettre au point une application plus réaliste

Merci bien pour votre attention!