Visualisation de la méthode par exhaustion pour calculer l’aire sous une courbe Bien comprendre le principe d’aire par exhaustion en utilisant une série d’aires de rectangles

Introduction Intégrer aura pour nous deux sens : Dans un premier temps, intégrer voudra dire: « calculer le tout de ou donner la somme ou le total de ». Par exemple, rechercher le déplacement total lorsque nous connaissons la fonction vitesse. Ce sens donné au mot intégrer fait référence à l’intégrale définie et est lié au calcul d’aire sous la courbe. Ensuite, intégrer signifiera « trouver une fonction dont la différentielle est connue ». Par exemple, lorsque nous connaissons la fonction vitesse, nous pouvons trouver la fonction position.

Mouvement et calcul d’aire Cas d’une vitesse constante Le déplacement d’un mobile dans un certain intervalle de temps est donnée par : déplacement = vitesse × Δ temps Dans le cas où la vitesse est positive, le déplacement correspond à la distance parcourue. Dans le cas d’une vitesse constante, le déplacement correspond à l’aire du rectangle. Que se passe-t-il dans le cas d’une vitesse variable. vitesse × Δ temps = déplacement

Mouvement et calcul d’aire Cas d’une vitesse variable Dans le cas d’une vitesse variable, Comment peut-on calculer le déplacement? Comment trouver une approximation du déplacement si nous possédons l’information suivante sur la vitesse:

Calcul du déplacement à l’aide du calcul des aires de rectangles Dans le cas d’une vitesse variable, nous pouvons approximer le déplacement par la somme des aires de rectangles. 700 m 800 m 900 m 1100 m Nous découpons alors notre intervalle de temps en petits sous intervalles de temps et sur chacun d’eux nous assumons que la vitesse est constante. Dans l’exemple illustré ci-contre, nous avons découpé l’intervalle en 5 sous intervalles de 2 minutes et, pour chaque sous intervalle, nous assumons que le mobile roule à une vitesse constante. Pour chaque sous intervalle de temps, l’aire du rectangle nous donne alors une approximation du déplacement du mobile dans ce sous intervalle. Le déplacement total est la somme de ces petits déplacemnents. Comment évaluerons-nous le déplacement total?

Vers une meilleure approximation du déplacement total Nous pouvons obtenir une meilleure approximation en augmentant indéfiniment le nombre de sous intervalles.