Seconde animation math Retour sur les problèmes ouverts Retour sur évaluations Le calcul mental au cycle 3 Pause Les nombres décimaux Le livret personnel de compétences

Les problèmes ouverts Par niveau de classe ? Les typologies de résolution Les difficultés relevées Les aides de l'enseignant

Les retours - Résultats aux évaluations nationales 2011

2011- Les 10 items les plus chutés en math Circonscription Lorient Nord Taux de réussite Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations - 75 23,08% Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions ( mesures ) - 98 28,28% Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule - 68 34,73% Savoir organiser les données d'un problème en vue de sa résolution - 63 36,64% Lire ou produire des tableaux et les analyser - 62 37,83% Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations - 89 42,63% Lire l'heure sur un cadran à aiguilles - 77 44,30% Calculer mentalement le résultat d'une opération - 94 49,67% Poser et effectuer une division d'un nombre entier ou décimal par un nombre entier - 86 50,00% Reconnaître et vérifier en utilisant les instruments qu'une figure est un parallélogramme - 90 50,33%

Les résultats eva 2011 - LN FRANCAIS Lire Ecrire Vocabulaire Grammaire Orthographe 59,6% 59,8% 70,4% 69,3% 51,4% 51,7% MATH Nombres Calculs Géométrie Grandeurs et mesures OGD 58,4% 57,5% 63,1% 65,8% 53,0% 48,2%

Le statut de l'erreur Texte

Le calcul mental Les représentations Les différentes gestions dans le temps en classe ? Les différentes modalités ?

Qu’est-ce que savoir calculer ? Être capable de résoudre un problème Être capable de traiter soi-même des calculs De façon automatisée ou raisonnée Pour aboutir à un résultat exact ou approché Être capable d'organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine(calculatrice, tableur...)

Comment calcule-t-on aujourd’hui? Calcul mental Résultats exacts ou approchés Résultats mémorisés (répertoire) et procédures automatisés Résultats (re)construits Calcul instrumenté (calculatrice, tableur) Organisation du calcul, qui suppose… … une connaissance des fonctionnalités de l’outil … et des moyens de contrôle Comment calcule-t-on aujourd'hui ?(usages courant, professionnel, scientifique) 9

Et le calcul posé? La découverte des propriétés des opérations. Le calcul réfléchi, par l’utilisation implicite de ces propriétés est de nature à favoriser les futurs apprentissages à condition toutefois de donner lieu à une explicitation des procédures et des relations utilisées. 10

Le calcul mental quelques doubles et moitiés, Ce qu’il faut mémoriser ou automatiser les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure Ce qu’il faut reconstruire Idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s’appuyant sur ce qui est connu

Le calcul mental Le calcul automatisé Le calcul réfléchi

Le calcul mental et l'écrit Il peut y avoir de l'écrit Fiches en cours ? Calcul écrit - opération posée Requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental.

Le calcul mental Calcul réfléchi ou calcul automatisé Renoncement au calcul posé Possibilité d’un support écrit Dans la consigne Dans la formulation du résultat Voir même au cours du calcul

Le calcul mental de bonnes raisons Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement Indispensable à l'acquisition de nouvelles connaissances : allègement de la charge de travail Importance du calcul réfléchi(ou raisonné), nécessitant l’élaboration de stratégies Le calcul approché comme moyen de décision, d’anticipation et de contrôle

Comment aider l’élève à mémoriser les tables? Poser la question aux enseignants? 16

Qu’est-ce qu’avoir mémorisé? 7 + 6 7 + 6 et 7 + 6 sont égaux à 13 Il faut ajouter 6 à 7 pour aller à 13 Il faut ajouter 7 à 6 pour aller à 13 13 – 6 est égal à 7 Décompose 13 en 7 + 6 ou 6 + 7 Disponibilité des résultats Un dernier point mérite d’être souligné. Il a déjà été dit que la récitation des tables, dans l’ordre croissant, pouvait constituer une gêne pour une mémorisation efficace. Il convient d’ajouter un autre élément essentiel. Connaître ses tables, ce n’est pas seulement être capable de dire instantanément n’importe quel résultat de l’une des tables. C’est aussi être capable d’exploiter rapidement cette connaissance pour donner une résultat connexe. Connaître 7 + 6, c’est être capable de répondre 13 immédiatement, mais c’est également pouvoir répondre immédiatement à « combien de 7 pour aller à 13 ? », « combien de 6 pour aller à 13 ? », « 13 – 6 », « 13 – 7 » ou encore à produire très vite, entre autres, 7 + 6 et 6 + 7 lorsque sont demandées des décompositions additives de 13. 17

Qu’est-ce qu’avoir mémorisé? 8 x 7 8 x7 et 7 x 8 sont égaux à 56 Dans 56, il y a 7 fois 8 dans 56, il y a 8 fois 7 56 : 8 est égal à 7 et 56 : 7 est égal à 8 56 se décompose, entre autres, en 8 x7 et en 7 x8 De même, connaître 8 X 7, c’est être capable de répondre 56 immédiatement, mais c’est également pouvoir répondre immédiatement à « quel nombre multiplié par 7 donne 56 ? », « quel nombre multiplié par 8 donne 56 ? », « 56 divisé par 7 », «56divisé par 8 » ou encore à produire très vite 7 X 8 et 8 X 7 lorsque sont demandées des décompositions multiplicatives de 56. De telles questions doivent être posées dès le départ des apprentissages. 18

Comment aider les élèves à progresser en calcul automatisé ? Le calcul mental Comment aider les élèves à progresser en calcul automatisé ? Quelles pratiques ?

Démarche pour automatiser Des résultats reconstruits avant d’être mémorisés Construire le répertoire Structurer le répertoire (points d’appui) Commutativité Appui sur des résultats connus (doubles, voisins) Régularités Etapes de l’apprentissage Par zones numériques pour l’addition Par tables pour la multiplication Conscience de ce qui est su et de ce qui reste à apprendre Entraînement Conditions de mémorisation et conditions de rappel Comprendre pour mieux mémoriser

Comment aider les élèves à progresser en calcul réfléchi ? Le calcul mental Comment aider les élèves à progresser en calcul réfléchi ? Quelles pratiques ?

Trois points importants Il y a toujours plusieurs procédures correctes de traiter un calcul Il faut pouvoir s’appuyer sur des résultats mémorisés sûrs La connaissance de quelques propriétés des opérations est indispensable 22

Exemples avec 18 + 42 Action Justification Calcul de 42 + 18 On peut permuter les 2 termes. 42 + 8 + 10 On peut décomposer un terme (avec +) 42 + (20 – 2) On peut décomposer un terme (avec -) 40 + 10 + 2 + 8 On peut décomposer les 2 termes puis regrouper … Répertoire additif Compléments à la dizaine supérieure Calcul sur les dizaines entières Ajout ou retrait d’un nombre inférieur { 10 ou d’un nombre entier de dizaines à un nombre quelconque 23

Exemples avec 25 X 12 Action Justification (25 x 10) + (25 x 2) On peut décomposer un terme (avec + ou -) et distribuer 25 x 4 x 3 On peut décomposer un terme (avec x) et associer (12 : 4) X 100 utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant d’abord 12 par 4, puis en multipliant le résultat par 100 (ou multiplication de 12 par 100, puis division du résultat par 4). Les deux dernières propositions ne peuvent pas fonctionner avec 25 x 19 Bien que 25 soit un des facteurs des deux produits, sa présence n’induit pas les mêmes stratégies de calcul et les procédures choisies dépendent des connaissances préalables des élèves à partir desquelles ils analysent les nombres en présence. Ainsi, pour utiliser P3, il faut savoir que 25 est le quart de 100, mais aussi que 12 est un multiple de 4. Pour reconnaître que P3 est difficilement applicable pour 25 ´ 19, il faut savoir que 19 n’est pas un multiple de 4… Par ailleurs, comme cela a déjà été souligné, le calcul réfléchi suppose la mise en oeuvre, souvent implicite, de diverses propriétés des opérations en jeu. En calcul réfléchi, aucune procédure ne s’impose a priori et, le plus souvent, plusieurs sont possibles. Le travail en classe doit donc être axé sur l’explicitation et la confrontation des procédures possibles et efficaces. Par ailleurs, un calcul réfléchi effectué mentalement mobilise une partie de la mémoire de travail, éventuellement pour le maintien de l’énoncé (s’il est donné sous forme orale), et dans tous les cas pour la représentation des règles de calculs et la mémorisation de résultats intermédiaires. Une cause possible d’erreur de calcul provient de la saturation de la mémoire de travail. Ce risque de saturation peut être diminué en autorisant les élèves à noter des résultats intermédiaires ou, dans certains cas, en notant au tableau le calcul à effectuer. Mais il ne faut pas oublier que le calcul mental privilégie le traitement des nombres conçus du point de vue de la numération orale : l’énoncé oral des calculs à effectuer est donc à privilégier. Répertoire multiplicatif Multiplication par 10, 100, … ou dizaine simple. Relations entre nombres courants (15, 30, 60, …/ 25, 50, 100, …) 24

Des séances courtes de 5 à 10 minutes Entretien et contrôle de la mémorisation des résultats (tables, relations entre nombres du type 5, 20, 25, 50, 75, 100…) Automatisation de procédures compléments à la dizaine supérieure, multiplication ou division par 10 ; 100… Texte Exercices

Des séances courtes de 15 à 30 minutes Le calcul réfléchi Laisser du temps aux élèves pour chercher Expliciter les procédures Justifier du point de vue de leur pertinence Conclure par une brève synthèse exemples exemples Texte Exercices

Problème de pommes Avant la pause

L'ensemble des décimaux

L'ensemble des décimaux Quelles approches dans les classes ? En CE2 En CM1/CM2

Les programmes CE2 ? Cette capacité est déterminante pour que les élèves soient conscients que les nombres entiers ne suffisent pas pour rendre compte d’une quantité

Des compétences nécessaires 1- connaître le système positionnel en base 10 2- Connaissances et compétences sur l’ordre des nombres 1- Les élèves doivent avoir compris le système de numération en base 10, en particulier qu’il s’agit d’un système numérique de position. Il est également nécessaire qu’ils aient compris le système d’équivalence entre les chiffres en fonction de leur position dans un nombre. Par exemple 10 dizaines équivalent à 1 centaine, pour des nombres entiers naturels d’au moins 4 chiffres. 2. Connaissances et compétences sur l’ordre des nombres. Sur une droite graduée, les élèves doivent : --‐ savoir ce qu’est une graduation régulière (avec le choix d’une unité). --‐ être capables d’y placer un nombre entier et quelques fractions simples 2. Connaissances et compétences sur les fractions. Sur les fractions, les élèves doivent : --‐ connaître la notion de fraction, l’écriture fractionnaire et le vocabulaire afférent (numérateur, dénominateur, demi, tiers, quart, dixième, centième, millième, ...). --‐ savoir reconnaître des fractions égales (exemple et ) et trouver une fraction égale à une fraction donnée y compris dans le cas des entiers naturels. --‐ savoir décomposer une fraction en une somme 3- Connaissances et compétences sur les fractions vidéos sur l’apprentissage des fractions

Des situations pour introduire les décimaux Vigilance ! La première idée qui vient souvent à l’esprit consiste à travailler avec des nombres décimaux que les élèves connaissent déjà comme la monnaie ou les mesures de longueur. On peut penser que les élèves auront moins de difficulté à comprendre du fait de leurs connaissances liées à la vie courante

Analyse des concepts construits à partir de ces situations Rappel de la terminologie employée dans la vie courante : • l’expression « deux mètres cinquante » signifie-telle : - 2 mètres et cinquante mètres/décimètres/ centimètres… - 2,50 mètres - 2,5 mètres l’expression « deux mètres cinq » signifie-telle : - 2 mètres et cinq mètres/décimètres/ centimètres… - 2,50 mètres, 2,5 mètres, 2,05 mètres,… (ou trois euros soixante) Certains élèves risquent de ne pas comprendre les implicites.

Analyse des concepts construits à partir de ces situations Concepts erronés que les élèves risquent de construire : • un nombre décimal correspond à deux nombres entiers séparés par une virgule. Exemples : ‐ 2 mètres 50 = 2,50 m (3 € 60 = 3,60 €) ‐ 2 mètres 5 = 2,5 m (3 € 5 = 3,5 €) Conséquences : Des erreurs classiques de comparaisons entre les nombres décimaux : ‐ 2,50 > 2,7 parce que 2 mètres 50 est plus long que 2 mètres 7.

Analyse des concepts construits à partir de ces situations Concepts erronés que les élèves risquent de construire : • un nombre décimal est un nombre qui s’écrit à l’aide d’une virgule. Conséquences : Une telle construction de concept posera des problèmes de compréhension sur l’inclusion des ensembles. (ou trois euros soixante)

Analyse des concepts construits à partir de ces situations Concepts erronés que les élèves risquent de construire : • il est impossible « d’intercaler » un nombre décimal entre deux nombres décimaux « proches ». Exemples : on ne peut trouver un nombre décimal à intercaler entre 7,56 € et 7,57 €. Conséquences : On ne lève pas une des grandes difficultés concernant les décimaux qui est de comprendre qu’entre deux décimaux on peut toujours en intercaler un autre. En fait, il est possible d’intercaler une infinité de décimaux entre deux nombres. En fait, il est possible d’intercaler une infinité de décimaux entre deux nombres. Les élèves ne peuvent concevoir cela à partir de leur connaissance des entiers naturels : entre deux entiers naturels il n’est pas possible d’intercaler un autre entier naturel.

Analyse des concepts construits à partir de ces situations Remarques. L’étude des nombres décimaux est indissociable de celle des grandeurs et mesures Cependant, il est préférable de faire ce lien, entre écritures décimales et expressions de mesure avec plusieurs unités, plus tard dans la progression. Cela permettra aux élèves de comprendre que 5,07 m c’est 5 m 7 cm parce que le « 7 » de 5,07 m représente 7 centièmes d’unité (7 centièmes de m soit 7 cm). Le fait qu’il soit préférable de ne pas aborder les nombres décimaux à partir d’expressions de mesure ne signifie pas qu’il ne faille pas faire le lien.

Analyse des concepts construits à partir de ces situations Concepts erronés que les élèves risquent de construire : • un nombre décimal ne possède, au maximum, que 2 chiffres après la virgule. Dans les mesures de longueurs comme pour la monnaie, on n’utilise que rarement plus de 2 chiffres après la virgule Conséquences : Les élèves ne reconnaissent pas des nombres tels que 6,785 comme un nombre décimal.

Des indications pour introduire les décimaux Les écritures à virgule prennent du sens en étant mises en relation avec les sommes de fractions décimales. Exemple d’égalités qui peuvent être utilisées : 956/10 = 950/10 +6/10 = 95 + 6/10 = 95 + 0,6 = 95,6 La compréhension de la signification des chiffres après la virgule se fait directement en référence à un partage égalitaire. Exemple un partage en dix parties égales d’une unité donnée : 956/10

Des indications pour introduire les décimaux Il s’agit de faire comprendre que la valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que celle du même chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du même chiffre immédiatement à sa droite. Cela est vrai aussi bien pour la partie entière (à gauche de la virgule) que pour la partie décimale (à droite de la virgule).

Des indications pour introduire les décimaux CM1 : introduire une séquence dans cet ordre - Séances sur les fractions simples - Séances sur les fractions décimales •Faire systématiquement oraliser les écritures décimales et s’appuyer sur la désignation orale pour la compréhension •438/100 = 400/100 + 30/10 + 8/100 = 4 + 1/10 + 8/100 = 4,38 •quatre unités et trente huit centièmes … - Séances sur les nombres décimaux.

Les nombres décimaux La nature des nombres ne dépend pas de leur écriture. Il est fondamental de ne pas laisser croire les élèves que cela soit le cas. Ainsi, le nombre 756 est un nombre entier mais aussi un nombre décimal. Il peut se présenter sous différentes écritures, par exemples : en lettres : sept cent cinquante-six en chiffres romains : DCCLVI additive : 342 + 126 + 288 à virgule : 756,00 Fractionnaire :7 560/10

Les fractions 1ère approche « selon Charnay » Les vidéos

Les fractions Indiquer les 7/11 d'une bande, sans mesurer