1 SYSTEMES D’EQUATIONS Type d ’activité : leçon illustrée

2 Sommaire Enoncé d ’un exercice Traduction du problème Méthode de résolution par substitution Méthode de résolution par addition Méthode de résolution graphique

3 Position du problème : certains exercices nécessitent l ’emploi de plusieurs variables inconnues. Celles-ci apparaissent alors dans plusieurs équations qui composent le système. Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

4 Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. Exemple de rédaction : J ’appelle x le nombre d ’adultes et y le nombre d ’enfants qui ont assisté au spectacle. Je traduis l ’énoncé : 550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550 Les enfants paient demi tarif : donc 8€ par enfant, l ’ensemble des y enfants a payé 8y € l ’ensemble des x adultes a payé 16x € 16x + 8y = 6960€

5 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 16x + 8y = 6960 Ces équations traduisent ce problème. Pour indiquer qu’elles forment un système on place une accolade. Il existe trois méthodes de résolution : - par substitution,par substitution, - par additionpar addition - en utilisant un graphique.en utilisant un graphique

6 Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 16x + 8y = 6960 Méthode par substitution principe : on exprime l ’une des inconnues en fonction de l’autre. x = y Puis on remplace l ’inconnue ainsi exprimée dans l ’autre équation. 16x + 8y = (550 - y) + 8y = 6960 D ’où y = 230 x = = adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. Finalement

7 x + y =550 16x + 8y = 6960 x = y 2x + y = 870 2(550 - y) + y = 870 D ’où y = 230 Astuce de calcul... On divise tous les termes de cette équation par 8. Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870 x = = adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. x + y =550 2x + y = 870 Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

8 x + y =550 16x + 8y = 6960 Méthode par addition principe : on transforme une ou deux équations de manière à éliminer par addition membre à membre une des deux inconnues. Pour éliminer x je multiplie la première équation à gauche et à droite par –16: 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. -16x -16 y = x + 8y= 6960 Les deux coefficients sont opposés.

9 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. -16x -16 y = x + 8y= 6960 On additionne membre à membre -8 y = y = x - 16 y + 16 x + 8 y = x + y = 550 donc x = = 320

10 Pour éliminer y je multiplie l’une des deux équations par -1 x + y =550 2x + y = adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. Astuce de calcul... On divise tous les termes de la deuxième équation par 8. Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870 x + y =550 16x + 8y = personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. - x – y = x + y = 870 -x- y+2 x+ y= x= 320 y = 230 On additionne membre à membre

11 x + y =550 16x + 8y = 6960 Nous allons donc rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations : y = x et y = x Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. 16 x + 8y =6960 est une équation dont on peut diviser tous les termes par 8 ! Elle s ’écrit alors2x + y = 870ou encore y = x Par ailleurs x + y = 550 peut s’écrire y = x Résolution graphique

12 Nous allons rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations y = x et y = x Conseils : si l ’énoncé n’impose pas d’unité, il faut réfléchir ! Comment choisir des unités adaptées dans un repère bien placé ? Dans cet exercice x et y désignent un nombre d ’entrées. Ce sont donc des nombres positifs et les axes seront disposés en bas à gauche d ’une feuille de papier ( millimétré de préférence. ) Les valeurs possibles de y sont comprises entre 0 et 550. Les valeurs possibles de x sont comprises entre 0 et 435. ( 870 / 2 = 435 )

13 Tracer ces deux droites dans un repère placé en bas, à gauche d ’une feuille de papier millimétré, prendre 1 cm pour 50 entrées. y = x et y = x sont les équations de deux droites Conseils : aucune méthode n ’est imposée, MAIS à titre de révision vous pouvez tracer la première droite à l ’aide d’un tableau de valeurs pour 3 points. Et la seconde en utilisant la méthode du coefficient directeur et de l ’ordonnée à l ’origine.

La droite d ’équation y = 550 – x a pour coefficient directeur -1 et pour ordonnée à l ’origine 550. y nombre d ’entrées enfant x nombre d ’entrées adulte La droite d ’équation y = x passe par les points : si x =200 alors y =470 Si le graphique est bien fait on trouve : 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. si x =300 alors y =270 si x =100 alors y =670 donc