Pré-rentrée L1 Eco-Gestion Mathématiques Equation & Fonction 10h-13h Documents disponibles ce soir sur unipiaf.net Yves Bertini

Pensée économique Vision du monde  Modèle Modèle  traduire en langue naturelle Discours quantitatif  traduire en langue mathématiques Economie : répartir des ressources, quantités, prix, valeurs Micro-économie : maximiser l’utilité de l’agent Finance : prévision, risque Réalité n’est pas mathématiques Les math sont imparfaites : OK Pas connaitre les math : eco muet

Objectif : résoudre des problèmes Problèmes Eco Réalisabilité Atteindre un objectif fixe Atteindre le meilleur objectif Jouant sur des leviers Variables endogènes Toutes choses égales par ailleurs Variables exogènes Problèmes Math Inéquations Equations Optimum Variables 𝑥 , 𝑦, 𝑧 Paramètres fixes 𝑎, 𝑏, 𝑐

Problèmes de Micro-Economie Problème du coût de production Problème de Producteur consommateur Niveau de production de Cobb-Douglas

Sommaire Equation de droite Equation, Inéquation du 1er degré à 1 ou 2 variables Fonction rationnelles, puissances, exponentielle, logarithme Etude de fonction

Calculatrice modernes Systèmes Informatiques de Calcul – CAS Wolfram Alpha – Le "Google" des math/stat www.wolframalpha.com Geogebra – Calculs et dessins de courbes www.geogebra.org

Notations Ensembles [1;10] nombres réels entre 1 et 10 2,5∈[1;10] {1;10} ou {10;1} entiers 1 et 10 2,5∉ 1;10 et 2∉ 1;10 1;10 ou {1;…;10} entiers de 1 à 10 2,5∉ 1;10 et 2∈{1;…;10} et 2∈ 1;10

Equation de droite Pt 𝒙 𝒚 A −1 B 1 Equation cartésienne D : 𝑦=𝑎×𝑥+𝑏 𝑎 : pente 𝑏 : ordonnée à l’origine Tracé D : 𝑦=2×𝑥−1 Droite : a=2 et b=-1 2 points (𝑥, 𝑦) 𝑦>2𝑥−1 𝑦=2𝑥−1 Pt 𝒙 𝒚 A −1 B 1 𝑦<2𝑥−1

Equation de droite Signe de la fonction 𝑓 𝑥 =𝑎×𝑥+𝑏 x 𝑥 0 = −𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 Opposé du signe de a Signe de a

Equation - Inéquation Exercices Résoudre : Rappel de règle de calcul Identifier les inconnues Trouver toutes les solutions réelles possibles Rappel de règle de calcul Si 𝑎>0 et si 𝑋 > 𝑌 alors 𝑎𝑋>𝑎𝑌 Si 𝑎<0 et si 𝑋 > 𝑌 alors 𝑎𝑋<𝑎𝑌 Si 𝑎<𝑏 et 𝑐<𝑑 alors 𝑎+𝑐<𝑏+𝑑 Si 𝑎<𝑏 et 𝑐<𝑑 et 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑>0 alors 𝑎𝑐<𝑏𝑑 Pas de division ni soustraction Ex1 x est libre, pour tout x réel, y= … Ex 3 : trouver x>4 et y>2 Solution avec paramètre t.

Valeur absolue – Racine carrée Fonction valeur absolue : pour tout 𝑥∈ℜ 𝑓 𝑥 =|𝑥| Si 𝑥>0 |𝑥|=𝑥>0 Si 𝑥<0 |𝑥|=−𝑥>0 |−2|=2 Fonction racine carrée : pour tout 𝑥≥ 0 𝑓 𝑥 = 𝑥 Pour tout 𝑥>0 𝑥 >0 𝑥 2 =𝑥 Pour tout 𝑥∈ℜ 𝑥 2 =|𝑥| (−2) 2 = 4 =2=|−2| Si 𝑎>0 et 𝑏>0 𝑎𝑏 = 𝑎 × 𝑏 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝑥 est croissante. Si 𝑎<𝑏 alors 𝑎 < 𝑏 𝑥 =𝑎⇔𝑥= 𝑎 2 𝑥 <𝑎⇔0≤𝑥< 𝑎 2

Equation 2nd degré Fonction polynôme de degré 2 : Pour tout 𝑥∈ℜ , 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 où 𝑎≠0 Solutions réelles de l’équation de 2nd degré : 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 = 0 Discriminant : Δ= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 Si Δ<0 Aucune solution réelles Si Δ=0 Une seule solution 𝑥 0 =− 𝑏 2𝑎 Si Δ>0 deux solutions, deux racines 𝑥 0 = −𝑏− Δ 2𝑎 𝑒𝑡 𝑥 1 = −𝑏+ Δ 2𝑎 Forme factorisée : 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥− 𝑥 0 )(𝑥− 𝑥 1 )

Equation 2nd degré Signe de la fonction de 2nd degré : 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Discriminant : Δ= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 Si Δ<0 alors 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐>0 𝑠𝑖 𝑎>0 ou 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐<0 𝑠𝑖 𝑎<0 Si Δ≥0 on a le tableau de signes selon les racines 𝑥 0 = −𝑏− Δ 2𝑎 𝑒𝑡 𝑥 1 = −𝑏+ Δ 2𝑎 x 𝑥 0 = −𝑏− Δ 2𝑎 𝑥 𝟏 = −𝑏+ Δ 2𝑎 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Signe de a Opposé du signe de a

Equation 2nd degré Exercice Rappel identités remarquables 𝑎 2 − 𝑏 2 = 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎 2 −2𝑎𝑏+ 𝑏 2 = 𝑎−𝑏 2 𝑎 2 +2𝑎𝑏+ 𝑏 2 = 𝑎+𝑏 2 Si 𝑎>0, 𝑥 2 =𝑎 a pour solutions 𝑥 0 = 𝑎 et 𝑥 1 =− 𝑎

Fractions rationnelles Fraction rationnelle : pour 𝑃(𝑥) et 𝑄(𝑥) des polynômes 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 𝑓(𝑥) est définie pour tous les 𝑥 où 𝑄 𝑥 ≠0

Fractions rationnelles Exercices Equation 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 =0 a pour solutions 𝑃(𝑥)=0 quand 𝑄 𝑥 ≠0 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 = 𝑅 𝑥 𝑆 𝑥 ⇔ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 − 𝑅 𝑥 𝑆 𝑥 =0⇔ 𝑃 𝑥 𝑆 𝑥 −𝑅 𝑥 𝑄 𝑥 𝑄 𝑥 𝑆 𝑥 =0 Inéquation 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 > 𝑅 𝑥 𝑆 𝑥 ⇔ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 − 𝑅 𝑥 𝑆 𝑥 >0⇔ 𝑃 𝑥 𝑆 𝑥 −𝑅 𝑥 𝑄 𝑥 𝑄 𝑥 𝑆 𝑥 >0 puis factorise et tableau de signes

Fractions rationnelles Exercice

Puissances Pour 𝑥∈ℜ , 𝑥 𝑛 =𝑥×𝑥×𝑥 ... ×𝑥 , 𝑛 fois Pour a et b des réels : 𝑎 0 =1 𝑎 𝑚 × 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚+𝑛 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛 𝑎×𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑛 × 𝑏 𝑛 𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑎 𝑚×𝑛 𝑎 = 𝑎 1 2 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛 2

Puissances Exercice

Exponentielle Exponentielle base 𝒒>𝟎 : pour tout 𝑥∈ℜ 𝑓 𝑥 = 𝑞 𝑥 elle prolonge 𝑞 𝑛 Si 0<𝑞<1, 𝑞 𝑥 est décroissante tendant vers 0 Si 1<𝑞, 𝑞 𝑥 est croissante tendant vers l’infinie

Exponentielle Népérienne Exponentielle base 𝒆=𝟐.𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖𝟒𝟓𝟗 : pour tout 𝑥∈ℜ 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 Propriétés 𝑒 𝑥 >0 𝑒 0 =1 𝑒 1 =𝑒 𝑒 𝑥+𝑦 = 𝑒 𝑥 × 𝑒 𝑦 𝑒 −𝑥 = 1 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥−𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑥 𝑛 = 𝑒 𝑥×𝑛 La droite 𝑦=𝑥+1 est tangente à 𝑒^𝑥

Logarithme Népérien Pour tout réel 𝑎>0 , l’unique solution de 𝑒 𝑥 =𝑎 est 𝑥=ln 𝑎 Autrment dit : 𝑥>0 𝑒𝑡 ln 𝑥 =𝑦⇔𝑥= 𝑒 𝑦 𝑒 ln 𝑥 =𝑥 ln 𝑒 𝑥 =𝑥 Logarithme népérien : pour tout 𝑥>0 , 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 Propriété : Pour tout 𝑥∈ℜ, ln 𝑒 𝑥 =𝑥 et pour tout 𝑥>0, 𝑒 ln 𝑥 =𝑥 ln 1 = 0 et ln 𝑒 =1 ln 𝑎×𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑎 𝑏 = ln 𝑎 − ln 𝑏 ln 𝑎 𝑏 =𝑏× ln 𝑎 ln 𝑎 = 1 2 ln 𝑎 La droite 𝑦=𝑥−1 est tangente à ln(𝑥)

Exponentielle Logarithme Exercice

Etude de fonctions Pour les équations, inéquations mixant toutes ces fonctions  étude de fonctions Etapes Domaine de définition et Continuité Dérivabilité Signe de la dérivée, tableau de variations Limite et tendances

Domaine de définition - continuité Domaine de définition de 𝑓 𝑥 : 𝐷 𝑓 = ensemble des x où f est calculable Polynôme : 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 0 𝐷 𝑓 = ℜ tout réel et continue sur son domaine de définition Fraction rationnelle : 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 où 𝑝(𝑥) et 𝑞(𝑥) sont des polynômes 𝐷 𝑓 = ℜ − 𝑥 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑞 𝑥 = 0 𝑓(𝑥) continue sur 𝐷 𝑓 Fonction racine : 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝐷 𝑓 = 𝑥 > 0 𝑓(𝑥) continue sur 𝐷 𝑓 Exponentielle : 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝐷 𝑓 = ℜ et 𝑓 𝑥 est continue sur 𝐷 𝑓 Logarithme : 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝐷 𝑓 = ℜ et 𝑓(𝑥) est continue sur 𝐷 𝑓

Dérivabilité Soit 𝑓(𝑥) une fonction définie sur [𝑎,𝑏] Taux d’accroissement de 𝑓(𝑥) entre 𝑎 et 𝑏 est 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝑏−𝑎 Taux d’accroissement instantanée en 𝒂 : Limite de l’accroissement entre 𝑎 et 𝑎+ℎ quand ℎ devient petit : 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓 𝑎 ℎ C’est la pente de la tangente à la courbe de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 Dérivé de 𝒇(𝒙) en 𝒙 : c’est la limite de 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 ℎ quand ℎ est petit Elle est noté 𝒇’ 𝒙 Tangente à 𝒇(𝒙) en 𝒙=𝒂 : 𝐷 : 𝑦 = 𝑓’ 𝑎 𝑥−𝑎 +𝑓 𝑎

Dérivée usuelles 𝑓 𝑥 = … 𝑓‘ 𝑥 = … 𝐶 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑓𝑖𝑥𝑒 𝑥 1 𝑥 𝑎 𝑜ù 𝑎≠1 𝑥 1 𝑥 𝑎 𝑜ù 𝑎≠1 𝑎 𝑥 𝑎−1 1 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥≠0 − 1 𝑥 2 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥≥ 0 1 2× 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥>0 𝑒 𝑥 ln 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥>0 1 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥>0 𝒉 𝑥 = … 𝒉‘ 𝑥 = … 𝐶×𝑓(𝑥) où 𝐶 𝑓𝑖𝑥é 𝐶×𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 +𝑔′(𝑥) 𝑓 𝑥 ×𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥) 2 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 × g ′ 𝑓 𝑥 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)𝑒 𝑓(𝑥) ln 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥>0 𝑓( 𝑥) 𝑎 𝑜ù 𝑎≠1 𝑎× 𝑓 ′ 𝑥 × 𝑓 𝑥 𝑎−1 𝑓 𝑥 1 2× 𝑓 𝑥 𝑜ù 𝑓(𝑥)>0

Sens de variation Etude de signe de 𝒇’(𝒙) sur [𝒂,𝒃] Si 𝑓’ 𝑥 >0 alors 𝑓(𝑥) est croissante sur [𝑎,𝑏] Si 𝑓’ 𝑥 <0 alors 𝑓(𝑥) est décroissante sur [𝑎,𝑏] Si 𝑓’ 𝑥 = 0 alors 𝑓(𝑥) est consante sur [𝑎,𝑏] Tableau de variations Solution équation & inéquation La résolution de 𝑓(𝑥)=𝑘 se fait pour chaque colonne. Chaque colonne a 1 unique ou aucune solution car 𝑓(𝑥) est monotone La résolution de 𝑓(𝑥) >𝑘 se fait sur chaque colonne en étudiant 𝑓(𝑥)=𝑘 Extremum Le tableau de variation montre les valeurs extrêmes que peut prendre 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 0 𝑓‘ 𝑥 + − 𝑓 𝑥 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑀𝐴𝑋 𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒

Sens de variation 𝑥 ln⁡′(𝑥)=1/𝑥 + ln (𝑥) 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 − ∞ +∞ ln⁡′(𝑥)=1/𝑥 + ln (𝑥) 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 − ∞ +∞ 𝑒 𝑥 ′ = 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒