Stratégie financière POLE FINANCE 3ème année - Semestre 6 Séance n°3 Xavier DURAND – Docteur en Sciences de Gestion Université de Poitiers – Professeur Associé Pôle Finance ESSCA Responsable du cours Salma MEFTEH – Docteur en Sciences de Gestion Université de Paris – Dauphine – Professeur Associé Pôle Finance ESSCA Eric RIGAMONTI – Docteur en Sciences de Gestion Université de Toulouse – Professeur Associé Pôle Finance ESSCA Professeurs

Séance 3. Gestion de portefeuille (2) Corrigé du cas AZUR Les caractéristiques d’un portefeuille - La rentabilité espérée d’un portefeuille P - Coefficient de corrélation et risque d’un portefeuille P - Le bêta d’un portefeuille P - La diversification LE MEDAF - Présentation générale - La frontière d’efficience - La droite de marché Cas d’application (+ cas à préparer pour séance 4) QUIZZ n°3

Les caractéristiques d’un portefeuille P Par souci de simplification, nous raisonnons à partir d’un portefeuille P constitué uniquement de deux titres Espérance de rentabilité : E(R1) T1 Risque : s(R1) Espérance de rentabilité : E(R2) T2 Risque : s(R2)

E(Rp) = [p1 * E(R1)] + [p2 * E(R2)] La rentabilité espérée d’un portefeuille P E(Rp) : rentabilité espérée d’un portefeuille P C’est la moyenne pondérée des espérances de rentabilité des titres composant le portefeuille P E(Rp) = [p1 * E(R1)] + [p2 * E(R2)] p1 et p2 représentent les proportions des deux titres dans le portefeuille P

coefficient de corrélation Le risque d’un portefeuille P (1) En matière de risque, deux cas de figure se présentent : Les rentabilités des deux titres sont indépendantes Les rentabilités des deux titres ne sont pas indépendantes covariance et coefficient de corrélation

Le risque d’un portefeuille P (2) La covariance entre les rentabilités de deux actions mesure le degré de dépendance des fluctuations des cours de ces deux titres covariance positive => les cours des deux actions ont tendance à varier dans le même sens covariance négative => les cours des deux actions ont tendance à varier dans le sens opposé covariance nulle => aucun lien entre les variations des cours des deux actions

coefficient de corrélation Le risque d’un portefeuille P (3) COV (R1,R2) = E (R1* R2) – [E(R1) * E(R2)] Si le signe de la covariance est aisément interprétable, sa valeur ne l’est pas : pour se faire une idée de l’intensité du lien qui unit les évolutions de deux variables aléatoires, il faut « normaliser » la covariance en la divisant par le produit des écart-types des deux variables On obtient ainsi le coefficient de corrélation noté rR1,R2

C’est un nombre compris entre -1 et +1 Le risque d’un portefeuille P (4) COV (R1, R2) ρR1,R2 = s(R1) * s(R2) C’est un nombre compris entre -1 et +1 - 1 => Evolution strictement inverse des variables + 1 => Evolution strictement parallèle Généralement, les coefficients de corrélation sont positifs car la plupart des titres montent dans un marché haussier et baissent dans un marché baissier

Le risque d’un portefeuille P (5) 1. Les rentabilités des titres ne sont pas indépendantes VAR(Rp) = p12 VAR(R1) + p22 VAR(R2) + 2p1p2 COV(R1,R2) = p12 VAR(R1) + p22 VAR(R2) + 2p1p2 * ρR1,R2 * s(R1) * s(R2) s(Rp) = [VAR(Rp)]1/2 2. Les rentabilités des titres sont indépendantes VAR(Rp) = p12 VAR(R1) + p22 VAR(R2) s(Rp) = [VAR(Rp)]1/2

Les caractéristiques d’un portefeuille P (application) On vous communique les informations suivantes sur les Titres T1 et T2 : Espérance de rentabilité : E(R1) = 0,08 Risque : s(R1) = 0,17 T1 p1 = 0,6 Espérance de rentabilité : E(R2) = 0,11 T2 Risque : s(R2) = 0,32 p2 = 0,4 COV(R1,R2) = -0,02 Calculez la rentabilité espérée et le risque du portefeuille lorsque les rentabilités des titres sont indépendantes lorsque les rentabilités des titres ne sont pas indépendantes

chacun des deux titres : la diversification réduit le risque Les caractéristiques d’un portefeuille P (corrigé) Espérance de rentabilité (dans les deux hypothèses) E(Rp) = 9,2% E(Rp) = [0,6 * 0,08] + [0,4 * 0,11] Risque (hypothèse d’indépendance) s(Rp) = 0,16 VAR(Rp) = [0,62 * 0,172] + [0,42 * 0,322] = 0,027 Risque (hypothèse de non indépendance) VAR(Rp) = [0,62 * 0,172] + [0,42 * 0,322] – [2*0,6*0,4*0,02] = 0, 017 s(Rp) = 0,13 Dans les deux cas, le risque du portefeuille est inférieur au risque de chacun des deux titres : la diversification réduit le risque

La diversification (1) Comment répartir des actifs financiers dans le portefeuille P d’un individu ? Le meilleur choix pour un individu hostile au risque n’est pas de concentrer son investissement sur un seul titre mais de répartir son avoir entre plusieurs titres, autrement dit, de diversifier son portefeuille

La diversification (2) La diversification permet de réduire le risque en fonction du degré de dépendance des titres constituant le portefeuille Pour rappel, le degré de dépendance des titres est mesuré par le coefficient de corrélation entre leur taux de rendement et noté ρR1,R2

La diversification permet de réduire le risque ρR1,R2 = 1 ρR1,R2 = -1 ρR1,R2 = 0 La diversification ne sert à rien Il est possible, en théorie, de trouver un portefeuille P de risque nul La diversification permet de réduire le risque Les cas où le coefficient de corrélation est égal à 1, -1 ou 0 sont plutôt théoriques La diversification permet d’obtenir un risque du portefeuille inférieur à la moyenne pondérée des risques des titres qui composent ce portefeuille

Rentabilité espérée : E(R) La diversification (exercice) Considérons, au sein d’un portefeuille P, les actions AIR LIQUIDE (AL) et PHILIPS (PH) dont les caractéristiques financières sont les suivantes : AIR LIQUIDE PHILIPS Rentabilité espérée : E(R) 6% 13% Risque : s(R) 10% 17% Hypothèse n°1 : P contient 25% de PH Hypothèse n°2 : P contient 50% de PH Hypothèse n°3 : P contient 75% de PH En fonction des 3 hypothèses : Calculer la rentabilité espérée de P Calculer la moyenne pondérée des risques des titres AL et PH En supposant que ρAL,PH = 0,5, calculer le risque de P Que constatons-nous ? Illustrer par un graphique (proportion 50%-50%)

La diversification (corrigé exercice) Rentabilité espérée du portefeuille P XPH 25% 50% 75% E(RP) 7,8% (1) 9,5% 11,3% (1) = 13%*25% + 6%*75% Moyenne pondérée des risques des titres AL et PH XPH 25% 50% 75% s(RAL,PH) 11,8% 13,5% 15,3% (1) = 17%*25% + 10%*75%

La diversification (corrigé exercice) Le risque du portefeuille P Les titres ne sont pas indépendants VAR(Rp) = p12 VAR(R1) + p22 VAR(R2) + 2p1p2 * ρR1,R2 * s(R1) * s(R2) XPH 25% 50% 75% s(RAL,PH) 10,3% 11,8% 14,2% Dans les 3 cas, le portefeuille P a un niveau de risque plus faible que la moyenne pondérée des risques de chacun des titres

Réduction due à la diversification La diversification (corrigé exercice) Espérance de rentabilité PH 13% 10% 9,5% 6% AL Réduction due à la diversification 11,8% 13,5% 0% 17% Risque 10%

Un choix de portefeuille en fonction du b L’investisseur peut composer son portefeuille en fonction du β En cas de hausse attendue du marché, il peut sélectionner de préférence des titres dont le β est élevé, ce qui lui permettra d’augmenter le b du portefeuille et d’obtenir une performance supérieure à celle du marché A l’inverse, en cas de prévisions pessimistes, il peut choisir des titres dont le b est faible Une telle stratégie repose sur l’hypothèse de stabilité des b Or, cette hypothèse n’est pas vérifiée dans la réalité

bp = p1b1 + p2b2 Le Bêta d’un portefeuille P Le coefficient b du portefeuille P (noté βp) traduit la sensibilité de la rentabilité du portefeuille P aux fluctuations de la rentabilité du marché (M) Le b du portefeuille P est la moyenne pondérée de b des titres composant ce portefeuille bp = p1b1 + p2b2

Les paramètres expliquant le niveau du b (1) Sensibilité du secteur à la conjoncture économique (exemple : les entreprises du BTP devraient avoir un b proche de 1) La structure des coûts Plus le point mort est élevé, plus les flux de trésorerie sont volatils (exemple : les cimenteries à forts coûts fixes ont un b élevé) La structure financière La dette élève le point mort et donc la volatilité des bénéfices Plus une société est endettée, plus le b de son action est élevé

Les paramètres expliquant le niveau du b (2) La visibilité des performances Le manque d’informations sur une entreprise tend à élever le b : le marché tient compte d’un « risque de non visibilité » Le taux de croissance des résultats Plus le taux de croissance des résultats est élevé, plus le b sera élevé : l’essentiel de la valeur de l’entreprise s’explique par des flux éloignés dans le temps, donc sensibles à toute modification des données du marché

Le MEDAF (Modèle d’équilibre des actifs financiers) ou CAPM (Capital Asset Pricing Model) (1) Le MEDAF permet d’établir une relation linéaire entre le rendement et le risque d’un titre risqué ou d’un portefeuille risqué, étant donné le lien existant entre le rendement de ce portefeuille et le rendement du marché (c’est-à-dire en fonction du risque systématique du titre ou du portefeuille) Rappel : le risque spécifique disparaît par diversification Lorsqu’on analyse la relation risque/rendement d’un actif isolé, on suppose qu’il est contenu dans un portefeuille correctement diversifié

Le MEDAF (2) Le MEDAF notamment sur deux hypothèses relatives au comportement des investisseurs : tous les investisseurs ont la même information et font des prévisions identiques tous les investisseurs cherchent à maximiser l’espérance de rentabilité et à minimiser le risque Le MEDAF a été développé par Sharpe dans un article de 1964 pour lequel, en partie, il a reçu le prix Nobel d’économie en 1990

La notion de frontière d’efficience (1) Portefeuille efficient C’est un portefeuille qui, pour un niveau de risque donné, procure la rentabilité la plus élevée ou qui, pour un niveau de rentabilité donné, procure le risque le plus faible Frontière d’efficience L’ensemble des portefeuilles efficients forme la frontière d’efficience Cette frontière est différente selon que l’on considère ou non la présence d’un actif sans risque

Frontière d’efficience en l’absence d’actif sans risque La notion de frontière d’efficience (2) Frontière efficiente EF E(Rp) Portefeuille efficient x F x x x x x E x Portefeuille inefficient x x Risque correspondant s(Rp) Frontière d’efficience en l’absence d’actif sans risque

Le modèle d’équilibre RfM sont efficients (ils surclassent s(Rp) L’investisseur peut acquérir un actif sans risque ou de rentabilité certaine (Rf) et constituer ainsi un portefeuille mixte comprenant un actif sans risque et des actifs risqués Les portefeuilles constitués à partir d’un portefeuille quelconque N et de l’actif sans risque sont situés sur la droite RfN Les portefeuilles situés sur la droite RfM sont efficients (ils surclassent tous les autres) E(Rp) PORTEFEUILLE DE MARCHE M La droite RfM est la nouvelle frontière efficiente, dans l’hypothèse de portefeuilles mixtes Rf N s(Rp)

Relation entre la rentabilité et le risque d’un portefeuille : la droite de marché (1) Tous les investisseurs vont se constituer des portefeuilles incluant une proportion a d’un portefeuille, appelé portefeuille de marché, et noté portefeuille M et une proportion (1-a) de l’actif sans risque Le portefeuille est caractérisé par E(Rp) et s(Rp) E(Rp) = (1 – a) RF + a E(RM) = RF + a [E(RM) - RF] s(Rp) = a s(RM) On peut déduire de la relation donnant le risque du portefeuille P, que : a = s(Rp) / s(RM)

Relation entre la rentabilité et le risque d’un portefeuille : la droite de marché (2) Par définition, le portefeuille M est correctement diversifié : il ne comporte aucun risque spécifique Le portefeuille P étant constitué à partir d’une proportion du portefeuille M et de l’actif sans risque, ne comporte également aucun risque spécifique Or, nous avons vu (séance 2) que le risque total du portefeuille P peut s’écrire : VAR(Rp) = VAR(RM)bp2 + VAR(e) Ici, VAR(e) = 0 Ainsi, on obtient : VAR(Rp) = VAR(RM)b2 Cette relation s’écrit également : s(Rp) = bp s(RM)

E(Rp) = RF + bp [E(RM) - RF] Relation entre la rentabilité et le risque d’un portefeuille : la droite de marché (3) A partir des raisonnements précédents, on a obtenu les trois relations suivantes : E(Rp) = RF + a [E(RM) - RF] On en déduit que : a = s(Rp) / s(RM) a =bps(RM)/s(RM) a = bp s(Rp) = bps(RM) E(Rp) = RF + bp [E(RM) - RF] Ainsi :

L’ interprétation de la droite de marché (1) La relation précédente est la relation du MEDAF (ou CAPM) : c’est l’équation de la droite de marché La quantité [E(RM) - RF] représente le prix du risque : on l’appelle prime de risque du marché bp représente le risque systématique du portefeuille P : seul ce risque est rémunéré (le risque spécifique n’est pas rémunéré puisqu’il a pu disparaître par diversification). E(Rp) est la rentabilité espérée (donc requise) par les opérateurs qui investissent dans le portefeuille P Cette équation montre que la rentabilité espérée d’un investissement est une fonction linéaire du b de cet investissement

L’ interprétation de la droite de marché (2) Taux k Classe Risque : β Acheter Droite de marché * A * B Rentabilité d’équilibre Pente = la prime de risque du marché Vendre RF Si b = 0 ; E(Rp) = RF Si b = 1 ; E(Rp) = E(RM)

L’ interprétation de la droite de marché (3) Si la rentabilité espérée de l’investissement est supérieure ou égale à la rentabilité à l’équilibre, l’investissement est acceptable Sur le graphique, les investissements acceptables sont figurés sur la droite de marché, ou au-dessus. Tous les points en-dessous de la droite de marché correspondent à des investissements à rejeter : étant donné leur risque systématique, leur rendement est insuffisant Remarque : théoriquement, si l’espérance de rentabilité d’un titre s’écarte de la droite de marché, il ne peut s’agir que d’un phénomène provisoire, le jeu du marché devant aboutir au rééquilibrage

Cas d’application : le cas Dumas Soit les données suivantes concernant la société Dumas : Etats Probabilité Rentabilité du marché Rentabilité du titre 1 0,1 -0,18 -0,32 2 0,3 0,07 0,00 3 0,4 0,16 0,22 4 0,2 0,21 RF = 7% Rentabilité de l’actif sans risque 1. Calculer la rentabilité du marché et celle de l’action Dumas 2. Ecrire l’équation du MEDAF (équation de la droite de marché) 3. D’après le MEDAF, quelle est la rentabilité souhaitée du titre Dumas ? Comparer avec la rentabilité calculée à la question 1 - Conclure

Le cas Dumas (corrigé) E(RDumas) = E(Rd) = 13,6% E(RM) = 10,9% Etats Rentabilité du marché Rentabilité action Dumas 1. Etats Proba Rm Pi*Rm Rd Pi*Rd 0,1 -0,18 -0,018 -0,32 -0,032 1 0,3 0,07 0,021 2 3 0,4 0,16 0,064 0,22 0,088 0,2 0,21 0,042 0,4 0,08 4 0,109 0,136 Somme E(RDumas) = E(Rd) = 13,6% E(RM) = 10,9%

E(Ri) = 7% + bi (10,9% - 7%) Le cas Dumas (corrigé) 2. avec E(Ri) = rentabilité attendue du titre i bi = sensibilité du taux de rendement du titre i aux variations du taux de rendement du marché (indicateur du risque systématique du titre i)

Le cas Dumas (corrigé) 3. Calculons le b du titre Dumas, bd. COV (Rd,RM) bd = VAR (RM) COV (Rd,RM) = E (Rd * RM) – [E(Rd) * E(RM)] VAR (RM) = E (RM2) – [E(RM)]2

Le cas Dumas (corrigé) E (Rd * RM) = 3,66% Calcul de la covariance Calculons E (Rd * RM) pi Rd RM pi * (Rd * RM) 0,1 -0,32 -0,18 0,00576 0,3 0,00 0,07 0,4 0,22 0,16 0,01408 0,2 0,4 0,21 0,0168 E (Rd * RM) = 3,66% [E(Rd) * E(RM)] = 0,136 * 0,109 = 1,48% COV (Rd,RM) = E (Rd * RM) – [E(Rd) * E(RM)] = 2,18%

Le cas Dumas (corrigé) E (RM2 ) = 2,37% [E(RM)]2 = (0,109)2 = 1,19% Calcul de la variance du marché Calculons E (RM2) pi RM RM2 pi * (RM2) 0,1 -0,18 0,0324 0,00324 0,3 0,07 0,0049 0,00147 0,4 0,16 0,0256 0,01024 0,2 0,21 0,0441 0,00882 E (RM2 ) = 2,37% [E(RM)]2 = (0,109)2 = 1,19% VAR (RM) = E (RM2) – [E(RM)]2 = 1,19%

Le cas Dumas (corrigé) E(RD) = 7% + 1,83 (10,9% - 7%) = 14,14% = COV (Rd,RM) = 2,18 / 1,19 = 1,83 bd = VAR (RM) Selon l’équation de la droite du marché : E(RD) = 7% + 1,83 (10,9% - 7%) = 14,14% Avec un b de 1,83 et en utilisant l’équation de la droite de marché, la rentabilité du titre Dumas devrait être de 14,14 % - or, la rentabilité actuelle est de 13,6% Le titre Dumas n’est pas à l’équilibre : il est surévalué (vendre ou ne pas acheter) Le cours de l’action doit baisser pour faire augmenter le taux de rentabilité à son niveau d’équilibre

QUIZZ n°3 Une entreprise endettée a plus de chances d’avoir un b élevé VRAI FAUX Il faut acheter un titre surévalué VRAI FAUX Ce n’est que si ρ = 1 que le risque du portefeuille est égal à la moyenne des risques le composant VRAI FAUX En cas de prévisions optimistes du marché, il faut choisir un b faible VRAI FAUX

Cas supplémentaire : A-B-C Sur un marché en équilibre selon le MEDAF, on vous communique les espérances de rentabilité, les bêtas et les prix de trois titres. Titre bêta E (R) Prix en € A 0,6 0,07 130 B 0,8 0,08 242 C 1,3 0,105 176 Quel est le taux sans risque et l’espérance de rentabilité du marché ? En déduire l’équation de la droite de marché.

Cas supplémentaire : A-B-C (suite) De nouvelles informations arrivent sur le marché et les investisseurs révisent leurs anticipations de rentabilité attendue et de b pour l’année à venir : Titre bêta E (R) A 0,6 0,07 B 0,7 0,10 C 1,3 0,095 2. Connaissant l’équation de la droite de marché établie à la question 1, que peut-on dire de ces titres ? Faire une représentation graphique de la droite de marché et positionner les trois titres étudiés. Quelle sera l’attitude d’un investisseur par rapport à ces titres ? 3. Si le MEDAF est valide et si les prix reviennent très vite à l’équilibre, comment les prix vont-ils évoluer à la suite des nouvelles informations et des révisions des anticipations des investisseurs ?

Cas supplémentaire : A-B-C (corrigé) Question n°1 E(Ri) = RF + bi [E(RM) - RF] E (RA) = RF + bA [E (RM) - RF] E (RB) = RF + bB [E (RM) - RF] E (RC) = RF + bC [E (RM) - RF]  0.07 = RF + 0,6 [E (RM) - RF]  0.08 = RF + 0,8 [E (RM) - RF]  0.105 = RF + 1,3 [E (RM) - RF] On soustrait  et  => RF = E(RM) – 0,05 On remplace RF par sa valeur dans  E(RM) = 0,09 On en déduit RF = 0,04

E(Ri) = RF + bi [E(RM) - RF] Cas supplémentaire : A-B-C (corrigé) Question n°2 E(Ri) = RF + bi [E(RM) - RF] Pour les titres A, B, C, la rentabilité théorique attendue est : E(RA) = 0,07 (contre 0,07) E(RB) = 0,08 (contre 0,10) E(RC) = 0,105 (contre 0,095) En comparant les rentabilités anticipées et les rentabilités théoriques attendues, il apparaît que : => le titre A est bien évalué car les rentabilités théorique et anticipée sont égales => le titre B est sous-évalué, il est intéressant de l’acquérir pour obtenir une performance anormalement positive car la rentabilité anticipée est supérieure à la rentabilité attendue compte tenu du risque => le titre C est surévalué, il vaut mieux le vendre ou ne pas l’acquérir car la rentabilité anticipée est inférieure à la rentabilité théorique

Cas supplémentaire : A-B-C (corrigé) Rentabilité Titre le plus « intéressant » E(R) Droite de marché B (0,7 ; 0,10) C (1,3 ; 0,095) A (0,6 ; 0,07) 0.04 Bêta Risque

Prix futur = Prix actuel (1 + taux de rentabilité anticipée) Cas supplémentaire : A-B-C (corrigé) Question n°3 A partir des nouvelles informations arrivant sur le marché, les investisseurs anticipent des niveaux de rentabilité calculés sur le prix actuel. Implicitement, les prix anticipés pour la fin de l’année à venir sont : Prix futur = Prix actuel (1 + taux de rentabilité anticipée) Titre A : 130 * ( 1 + 0,07) = 139,1 Titre B : 242 * ( 1 + 0,10) = 266,2 Titre C : 176 * ( 1 + 0,095) = 192,72 Les prix actuels vont s’ajuster jusqu’à ce que la rentabilité attendue soit conforme au MEDAF (CAPM). Les nouveaux prix sont égaux aux prix futurs actualisés au taux de rémunération conforme au MEDAF, soit : Titre A : 139,1 / (1 + 0,07) = 130 (contre 130) Titre B : 266,2 / (1 + 0,08) = 246,48 (contre 242) Titre C : 192,72 / (1 + 0,105) = 174,41 (contre 176) On vérifie que le prix de A n’est pas modifié, que le prix de B augmente (B était sous-évalué) et que le prix de C baisse (C était surévalué)