Enseignement , apprentissage et place du calcul mental Mission Mathématiques 1er degré Plan DUNE: formation Calcul mental et TICE Nombres et calcul Enseignement , apprentissage et place du calcul mental Jean-Jacques Calmelet http://cms.ac-martinique.fr/structure/polemathematiques/

Evaluation PISA ~ 2000 Estimez l’aire de l’Antarctique en utilisant l’échelle de la carte. MATH ~ JJC ~ 2012

PISA ~ 2003 Lors d’une émission télévisée, un journaliste montre ce graphique et dit : « Ce graphique montre qu’il y a eu une très forte augmentation du nombre de cambriolages entre 1998 et 1999. » Considérez-vous que l’affirmation du journaliste est une interprétation correcte? Justifiez votre réponse par une explication. MATH ~ JJC ~ 2012

2,40m 0,60m 2,50m 2,473…m 1,60m

PISA… La Culture mathématique : C’est « l’aptitude d’un individu à identifier et comprendre le rôle des mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos et à s’engager dans des activités mathématiques en fonction des exigences de sa vie en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi » MATH ~ JJC ~ 2012

Pas de hiérarchie :. Calcul / Problèmes Pas de hiérarchie : Calcul / Problèmes Mécanisme / Automatisme / Compréhension Connaissances / Capacité à les utiliser Sens Techniques Renversement de tendance : on est passé d’une priorité des techniques à la priorité du sens (années 70/80) alors que c’est l’articulation qui était prônée… mais s’est clairement installée la dévalorisation de l’enseignement des techniques (en inspection, en formation, c’est la résolution de problèmes qui est montrée, travaillée, sans que soient bien identifiées les connaissances visées effectivement (Rapport IGEN 2006 : « L’enseignement des mathématiques au cycle 3 de l’école primaire ») - catégorisation Remarque : idem en maternelle (lorsque l’élève est en activité, est-il en apprentissage ?) MATH ~ JJC ~ 2012

Paradoxe de l’automatisation : calculer 45 + 17 Apprendre le calcul mental : des procédures Paradoxe de l’automatisation : calculer 45 + 17 45+17 = 45+10+7=55+7=62 45+17 = 40+5+10+7=50+12=62 1 45 + 17 62 45+17 = 45+5+12=50+12=62 45+17 = 45+15+2=60+2=62 45+17 = 2+43+17=2+60=62 45+17 = 45+20-3=65-3=62 Quel automatisme ? Recours à un ensemble de procédures installées en mémoire Mobilisation quasi systématique d’une seule procédure Connaissances mobilisées Coût en mémoire Coût en calcul ?? Algorithme écrit = Algorithme mental « Poser dans sa tête » / apprendre des procédures spécifiques Calculer par la droite / calculer par la gauche

Programmes 2008 – CP, CE1, CE2, CM1, CM2 « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification » Les travaux conduits dans le domaine « Nombres et calcul » concourent dans leur diversité à construire la notion de nombre : par la construction de la numération par le calcul qui s’opère dans cette structure (la décomposition d’un nombre, le passage à la dizaine supérieure… ne peuvent être indépendants les estimations) tiennent à la fois du nombre et du calcul et sont indissociables par les problèmes de la vie courante : le calcul mental y étant permanent, mais pas toujours explicite, ni conscient… l’estimation des grandeurs est un puissant facteur des connaissances numériques. Programmes 2008 – CP, CE1, CE2, CM1, CM2

Habiletés dans la décomposition des nombres Automatisation des procédures Habiletés dans la décomposition des nombres Mémorisation des faits numériques Doubles Tables d’addition Tables de multiplication Compléments à 10 … Passage à la dizaine supérieure Distributivité Calcul par la gauche … Cette distinction doit organiser une logique d’enseignement qui n’est pas toujours très clairement identifiée (distinction de la mémorisation des faits numériques et de l’enseignement de procédures précises) et conforter l’étroite liaison que les programmes ont établi entre nombre et calcul. L’apprentissage des tables ne ressemble pas à l’apprentissage des procédures (voir plus loin). L’interrogation sur les tables (réponses rapides) ne ressemble pas aux interrogations sur les procédures (réponses construites). La mémoire des faits numériques ne doit engendrer aucun calcul ! Cela pose néanmoins la question des étapes intermédiaires : 8 + 7 relève au CP de la procédure (décomposition de 7 en 2 + 5, surcomptage). Le passage de la procédure à la mémorisation des faits demande un enseignement précis et progressif. 12 = 10 + 2 12 = 2 x 6 12 = 2 x 2 x 3 9 = 10 – 1 25 = 100 / 4 …

Ce sont des enseignements distincts Le niveau expert ? Automatiser les procédures Mémoriser les faits numériques Ce sont des enseignements distincts Structurer la mémorisation: Faire apprendre les tables … les doubles …les décompositions de 10 … identifier les procédures les reconnaître les produire automatiser une procédure pertinente La complémentarité n’est pas symétrique : on ne peut identifier, reconnaître, ni produire une procédure sans la fonder sur des « faits numériques » établis. La mémorisation doit distinguer deux étapes : Les faits numériques disponibles : les associations (un couple de nombres : sa somme, son produit) produisent immédiatement un résultat Les faits mobilisables : un retour explicite est nécessaire (recours, pour les tables d’addition à une petite décomposition – 9 et 9 devient 9 et 1 et 8 ; c’est plus difficile pour les tables de multiplication – l’élève alors reprend la récitation de la table concernée pour trouver le résultat) ; c’est une difficulté très sensible qui fait obstacle à la mise en œuvre des procédures. Comme les procédures, les tables sont enseignées en classe (et révisées « à la maison ») Quelques angles de réflexion : Connaissances mobilisées Coût en mémoire Coût en calcul

Du dénombrement au calcul : Niveau expert ? Ce n’est pas un « saut naturel » : dépasser l’usage de la comptine, recomptage du tout, surcomptage, décomptage mémorisation progressive appui sur la numération (décomposition, passage à dix) utilisation de nouveaux outils : ligne numérique, tableau de nombres, Du dénombrement au calcul : 37 x 8 37 + 8 37 x 2 x 2 x 2 (on double trois fois de suite) 30 x 8 + 7 x 8 37 + 3 + 5 30 + 7 + 8 25 x 12 50 x 12 La mémorisation suppose un enseignement qui assure la transition entre les acquis de l’école maternelle (pour « Découvrir le monde » … les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but) et les résultats mémorisés dès la fin du CP. Le travail de calcul sur les petits nombres (voir diapo 8 – les « maisons de nombres  ») est un investissement fécond. Avec le travail autour de toutes les décompositions de 5 (travail avec un seul dé par exemple) puis de 10 (les constellations des doigts sans « compter sur les doigts »), les doubles… débutent des connaissances de base du calcul : une économie de moyens et de temps. Savoir que « huit et deux, c’est dix » (donc qu’il manque 2 à 8 pour faire 10, etc.) est performant… Il est nécessaire ainsi d’institutionnaliser explicitement les connaissances à mémoriser. Progressivement, on devra apprendre aux élèves à RECONNAÎTRE que dans 15+3 ou 5+43 ou 25+13 ou 30+50 c’est un même « fait numérique » qui est sous-jacent et sur lequel on s’appuie, la mémoire de 5+3=8 ! C’est un apprentissage aussi important que la mémorisation. 25 x 4 x 3 25 x 10 + 25 x 2 50 x 2 x 6 50 x 10 + 50 x 2

Mémoriser les « faits numériques » 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + 7 1 + 8 1 + 9 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 3 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 7 4 + 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 5 4 + 6 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 + 4 5 + 5 Les « maisons de nombres » construites au CP permettent de repérer les décompositions des premiers nombres, jusque 20. Ici une première forme (jusque 10) où on met en valeur les décompositions à mémoriser après avoir effacer celles qui relèvent de la numération (on connaît le successeur) et celles qui sont redondantes (commutativité)

+ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Le tableau est économique pour récapituler toutes les informations sur une surface minimale, mais ce n’est pas le support à privilégier pour les apprentissages (on préfèrera les présentations traditionnelles des tables). Il est recommandé d’éviter la charge inutile des [+0] ou [+1] : le 0, élément neutre de la somme, est vite identifié ; le [+1] doit être assimilé à la recherche du successeur : ce n’est pas du calcul mais de la numération. Inutile d’encombrer la mémoire ! Il est judicieux de procéder à des repérages…

+ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A repérer - les calculs sans passage à la dizaine supérieure les décompositions de 10 les sommes avec passage à la dizaine (le mot « retenue » a trait au calcul posé)

+ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A repérer - les calculs sans passage à la dizaine supérieure les décompositions de 10 les sommes avec passage à la dizaine (le mot « retenue » a trait au calcul posé)

Exemple d’un outil d’élève : table en cours d’apprentissage au CP ou CE1 (seul les résultats « résistants » apparaissent) + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 17 18 A titre d’exemple : Sur ce type de support, chaque élève ne laisse apparent que les résultats qu’il ignore (au fur et à mesure des interrogations, l’élève gomme les résultats qu’il connaît, réécrit ceux qu’il a oubliés). C’est bien entendu la partie en bas à droite qui regroupe les résultats les plus incertains.

Enseigner les tables ! 2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 8 x 3 = 24 3 x 3 = 9 Doubles : 2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 8 x 3 = 24 Triples : 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 6 x 3 = 18 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30 10 x 3 = 30 20 x 3 = 60 30 x 3 = 90

Interroger sur les tables (addition) : Alterner : Oral (sans écrit) Ecrit (sans oral) 6 + 7 ? + 7 = 13 et ? + 6 = 13 13 - 6 et 13 - 7 13 - ? = 7 et 13 - ? = 6 Combien manque-t-il à 6 (ou 7) pour aller à 13… Complète 6 (ou 7) pour arriver à 13… La récitation des tables ne doit pas faire l’objet d’un travail trop systématique : il favorise la mémorisation d’un bloc (il faudra alors réciter le tout pour retrouver un résultat. Les interrogations doivent être variées, diverses (formes) et fréquentes (quotidiennes – des temps courts). Première variable : Oral / Ecrit dix calculs écrits au tableau – SILENCE TOTAL (pas de lecture, pas de murmures) dix calculs dits (aucun support visuel) Réponse des élèves : Lamartinière (gros succès d’école…) vitesse, visibilité directe du maître. Efficacité ? Cahier : les résultats écrits sur le « cahier du jour » (cahier de l’entraînement des élèves) permet la concentration (pas d’arrêt entre les calculs, pas de déperdition d’attention). La liste des calculs et des réponses est fournies et permet à l’élève de connaître son taux de réussite (d’intervenir dans sur sa table personnelle) La présence sur le cahier permet le suivi du travail quotidien dans ce domaine (l’enseignant, l’élève, les parents). Enseigner les analogies : 6 + 7… 16 + 7 26 + 7 36 + 7… 6 + 7… 6 + 17 6 + 27 6 + 37 6 + 7… 60 + 70 600 + 700…

Interroger sur les tables (multiplication) : Oral (sans écrit) Ecrit (sans oral) Alterner : 2 x 7 ? x 7 = 14 et 2 x ? = 14 14 : 2 (dès le CE1) et 14 : 7 En 14 combien de fois 2 (de fois 7) 20 x 7 2 x 70 140 : 2 Les QCM associant les résultats de la somme et du produit des deux nombres est une difficulté sensible dans les choix ; il en est de même lorsque l’on propose des résultats successifs des tables (par exemple, pour 6x7, 42 – 49 – 56 ou 32 – 36 – 42…) Suite des nombres de … en … (croissante, décroissante) QCM 2 x 7 = 9 ? 14 ? 5 ?

5h / 27h 5h / 24h 5/27 x 2h15 soit 25 min 5/24 x 2h 4h35 mathématiques Prog 2002 Prog 2008 HORAIRES 5h / 27h 5h / 24h retrait du temps de récréation 5/27 x 2h15 soit 25 min 5/24 x 2h Temps effectif de math hebdomadaire 4h35 NOMBRE de séances hebdomadaires ? 5 séances / une par jour 4 séances de 50min + 4 séances de 15min

Denis BUTLEN « Le paradoxe de l’automatisme » « … lorsque les connaissances de l’élève sont plus limitées, il va se réfugier dans les procédures apparemment plus sûres, mais beaucoup plus coûteuses et conduisant souvent à l’échec. » CALCUL : Le paradoxe de l’automatisme (transposition des techniques opératoires au calcul mental) Les repères des procédures de calcul mental (p19) NOMBRES : échanges / groupements point de vue algorithmique oral /écrit Il faut donc envisager que c’est en variant les situations (comme cela est proposé dans d’autres textes de cette brochure, voir notamment celui sur les problèmes additifs et soustractifs et celui sur les problèmes multiplicatifs et de division) que l’élève peut être amené à découvrir le sens des opérations élémentaires et à en généraliser l’utilisation en s’éloignant d’une conception immature qui associe de manière sommaire des transformations (ajout) et des opérations (addition). Dans l’état actuel de nos connaissances, il paraît vraisemblable que l’accès aux opérations permettant, par exemple, d’utiliser une addition pour traiter un retrait (Jean avait des billes. Il en a perdu 18 à la récréation. Il lui en reste 27. Combien en avait-il avant de commencer à jouer ?), est lent et requiert de nombreuses rencontres avec des situations diverses mobilisant chacune des opérations. Nos collègues des États–Unis ont observé voici déjà 20 ans que les situations problèmes proposées aux élèves sont souvent trop limitées (ajout –> addition ; retrait –> soustraction) et n’incitent pas assez les élèves à élaborer une conception mature des opérations. Cette surestimation des capacités des enfants est d’autant plus vraie lorsque lesdites opérations ne font que simuler le déroulement des transformations : si Paul a 3 billes et que je lui en donne 4, le fait de transcrire 3 + 4 = 7 n’assure en rien que l’addition est acquise ! … Le fait que les enfants perçoivent et comprennent très précocement et facilement les effets des transformations affectant la quantité (ajout, retrait, partage…) laisse souvent penser à tort qu’ils maîtrisent ou au moins comprennent les opérations (addition, soustraction, multiplication, division...). Le passage des transformations (analogiques) aux opérations (symboliques). D’autres chercheurs ont relevé que les enfants les plus faibles tendent à se limiter à cette conception stéréotypée des opérations, sans que nous soyons en mesure de faire la part de ce qui tient aux difficultés propres à ces élèves et aux modalités d’intervention pédagogique. Ces difficultés ne sont pas homogènes … JJC ~ nov 2010

Enseigner les procédures (1) Ex. Calculer mentalement : 45 + 17 45+17 = 45+10+7=55+7=62 Décomposition du 2nd nombre 45+17 = 45+5+12=50+12=62 45+17 = 45+15+2=60+2=62 45+17 = 2+43+17=2+60=62 Passage à la dizaine supérieure 45+17 = 40+5+10+7=50+12=62 Un exemple : le calcul proposé permet d’aborder plusieurs procédures explorées systématiquement – mais toutes les procédures ne seront pas retenues – trop longues les deux décompositions par exemple). La phase (1) passe par un calcul écrit en ligne (pas la technique opératoire) : l’enseignant traduit en ligne le choix des décompositions permettant d’utiliser des relations privilégiées connues des élèves (cet exemple est transposable dès le CP : les valeurs seront adaptées). Avec les élèves, on nommera ces procédures (ce sont ici des exemples) ; elles seront affichées, présentes sous cette forme sur le cahier mémoire des élèves. La dénomination est une catégorisation très importante. Décomposition des 2 nombres 45+17 = 45+20-3=65-3=62 Ajout de dizaine et soustraction

Enseigner les procédures (2) Une semaine sur la procédure 1 Une semaine sur la procédure 2 Décomposition du 2nd nombre Passage à la dizaine supérieure Une semaine sur la procédure 3 ADAPTATION Une semaine où l’élève a le choix de l’utilisation … Le processus d’enseignement consiste à construire progressivement les automatismes correspondant à chacune des procédures retenues (ici on fait le choix de ne pas retenir les deux décompositions trop lourdes en mémoire). La semaine 1, quatre séances courtes impose un passage systématique par la décomposition du second nombre dans diverses situations où l’élève doit transposer (mentalement) : l’enseignant écrit à chaque fois la somme en ligne correcte) La semaine 2 c’est une autre procédure Et ainsi de suite… Une semaine est enfin consacrée à l’adaptation : le choix personnel que chacun justifiera : 56 + 19 (procédure 3 - le passage à 20 est plus aisé – on retire 1, c’est le prédécesseur) 59 + 16 (procédure 2 – le passage à la dizaine supérieure [60 + 15] facilite la tâche) C’est dans cette phase que se concrétuisent les « procédures personnelles) Ajout de dizaine et soustraction

Enseigner les procédures (3) La construction de «  procédures personnelles » est la combinaison : d’une procédure apprise d’une mémoire réactive des faits numériques d’une habileté à utiliser une décomposition pertinente des nombres Une semaine sur la procédure 1 Une semaine sur la procédure 2 Décomposition du 2nd nombre Passage à la dizaine supérieure Une semaine sur la procédure 3 ADAPTATION Une semaine où l’élève a le choix de l’utilisation … Le processus d’enseignement consiste à construire progressivement les automatismes correspondant à chacune des procédures retenues (ici on fait le choix de ne pas retenir les deux décompositions trop lourdes en mémoire). La semaine 1, quatre séances courtes, impose un passage systématique par la décomposition du second nombre dans diverses situations où l’élève doit transposer (mentalement) : l’enseignant écrit à chaque fois la somme en ligne correcte) La semaine 2 c’est une autre procédure Et ainsi de suite… Une semaine est enfin consacrée à l’adaptation : le choix personnel que chacun justifiera : 56 + 19 (procédure 3 - le passage à 20 est plus aisé – on retire 1, c’est le prédécesseur) 59 + 16 (procédure 2 – le passage à la dizaine supérieure [60 + 15] facilite la tâche) C’est dans cette phase que se concrétisent les « procédures personnelles) La pertinence d'une démarche "personnelle" est la conjugaison d'une procédure assimilée et d'une mémoire réactive de faits numériques. Par exemple : utiliser la décomposition d'un des nombres en jeu du fait que celle-ci est simplificatrice dans le contexte. Ajout de dizaine et soustraction

Une séquence d’enseignement du calcul mental : exemple : complément à 100 semaine 1 : automatiser le passage par la dizaine supérieure dans l'addition semaine 2 : automatiser la décomposition dans la soustraction  Semaine 3 : choix des procédures Semaines 1 et 2 : une séance longue (on découvre, on repère, on formalise) ; trois séances courtes, on entraîne sous des formes variées Consigne : calculer l’écart entre 48 et 100 semaine 1 : Modélisation sous forme d’écriture symbolique : 50 48 + 2 + 50 = 100 52 semaine 2 : 100 – 48 = 100 – 40 – 8 soit 100 – 40 = 60 60 – 8 = 52 semaine 3 : choix entre une ou l’autre des procédures On pourra montrer que : la soustraction plus pratiques pour retirer des « petits nombres » le complément (procédure additive) est plus indiqué avec les plus grands nombres Étapes suivantes : Écart 90 / 129 Ecart 87 / 126 EDUSCOL : aide personnalisée CE1-mathématiques

Repères pour le calcul mental – « Le nombre au cycle 2 » Compléter à 10 à la dizaine supérieure Compléter à 100 à la centaine supérieure Trouver le complément quand il s’agit de 10, multiples de 10, 100… Ajouter, retirer 10, 100 Calculer des additions en ligne Décomposition additive d’un nombre Exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine ou centaine supérieure Compléter des égalités de type : 37 +18 = 47 + …

Aide personnalisée en mathématiques http://eduscol.education.fr/cid57169/articuler-aide-personnalisee-et-temps-de-classe-en-mathematiques-en-ce1.html

Quelques repères - rappels : Séances courtes / séance longue Emploi du temps Reprises régulières Entraînement : variété – brassage Ecrits formalisés (procédures) Interrogations (orales/ écrites) Ardoise ou cahier… Corrections ? Mises en commun ? Une technique opératoire durable…

« On ne comprend pas les nombres si on ne connaît pas le calcul » Investir « l’intelligence du calcul » Enseignement de la numération - décomposition, familiarité Deux apprentissages / deux enseignements Faits numériques Procédures Estimation / approximation Utilisation dans des problèmes de la vie courante « On ne comprend pas les nombres si on ne connaît pas le calcul » Michele Artigue.