Commission Inter IREM Collège Algèbre et mise en Train

SESAMES Algèbre http://pegame.ens-lyon.fr/ IFÉ - ENS LYON Situations d’Enseignement Scientifique : Activités de Modélisation, d’Evaluation, de Simulation Sylvie Coppé UMR ICAR (Université Lyon 2, CNRS, ENS Lyon) Olivier Arrouch Anne Sophie Cherpin Vincent Duval Alexandra Goislard Claire Piolti-Lamorthe Sophie Roubin SESAMES Algèbre http://pegame.ens-lyon.fr/ IFÉ - ENS LYON

Constats de départ : Les élèves ont du mal à utiliser le calcul algébrique au collège et au lycée. Les élèves ont du mal à introduire une lettre dans un problème si on ne la leur donne pas La puissance de l’outil algébrique est sous estimée dans les programmes et dans les pratiques des élèves. L’aspect modélisation est peu mis en avant dans l’enseignement actuel de l’algèbre L’algèbre est enseignée comme un objet plutôt qu’un outil. Beaucoup d’erreurs dans les calculs car lacunes sur les justifications des calculs (Assude et al., 2012)

Proposer des activités innovantes : Rendre les problèmes plus ouverts (trop d’exercices guidés dans les manuels) Laisser l’introduction de la lettre à la charge des élèves plutôt que de la donner Mettre les élèves en activité, plus autonomes vis à vis du savoir Justifier les techniques de calcul (place de la distributivité) Changer les pratiques de classe : documents dans « Se former » activités isolées / activités liées

Elaboration des Principes Proposer des problèmes dans lesquels les outils introduits sont nécessaires. Ne pas indiquer de méthode de résolution (en particulier l’usage d’une lettre). Favoriser les changements de registres (langage naturel, schéma, graphique, langage algébrique). Travailler les vérifications qui donnent du sens aux notions. Travailler sur les formules pour préparer la notion de fonction. Travailler les activités de preuve. Justifier les calculs par l'utilisation des règles algébriques clairement explicitées comme telles.

L’algèbre au collège c’est : La lettre : Differents statuts : Abréviation - Unité de mesure - Pour désigner (un point) - Indéterminée – Inconnue – Variable – Paramètre Les identités (sens du =) A l'entrée du collège le signe = désigne le résultat d'une opération Ex d’erreurs classiques 3  2 = 6 + 7 = 13 Pour traduire "le quart de 16" = 4 un élève répondra 1/4 = 4 En 4ème difficulté à envisager que le résultat d’un calcul donne 3x + 4 d’où la réponse fausse 7x Nombres relatifs (appelés au début du 20ème nombres algébriques) Rupture par rapport aux nombres entiers Utilisés pour signifier des gains et pertes (chinois, indiens) et pour résoudre des équations Statut de nombres pas questionné, puis sujet de polémiques La multiplication des relatifs pose problème et n’est tranchée qu’en 1867 par Hankel

Les programmes de calcul : « Lorsque la notion d’expression algébrique est dûment introduite au collège comme mathématisant la notion de programme de calcul, un certain nombre de difficultés « traditionnelles » prennent un tout autre sens, quand elles ne disparaissent pas tout à fait. » Chevallard, 2007 (cours aux professeurs stagiaires)

Voici deux programmes de calcul :. à quel niveau les donneriez vous Voici deux programmes de calcul : à quel niveau les donneriez vous ? avec quels objectifs ? Quel nombre ai je choisi si je trouve 22, si je trouve 14,5 et si je trouve 9 ? Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 35, si j'obtiens 25, si j'obtiens 28 ? Donner du sens à la modification d'expression et au traitement de l'exp + la rupture PEGAME > 5eme > Vers les équations > Partie 2 > Activité 1 et 2

Ce n’est pas l’énoncé qui doit dicter une méthode de résolution, c’est le choix du problème et des variables didactiques qui va valoriser un outil ou un autre.

Les grandes tâches en algèbre : Produire des expressions : c’est le passage de la formulation « en mots » à la formulation littérale (expression algébrique du programme de calcul). Traiter des expressions : c’est rechercher une écriture «mieux adaptée» à un certain travail mathématique. http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Seminaire_2006-2007.pdf pages 167-171

Travail de Recherche ou d’Approfondissement avec prise d’INitiative Une aide à la mise en œuvre pour changer de temporalité, le temps de mise en TRAIN

Bilan Echange de procédures Présentation des stratégies

MET Point qui bouge Bilan Echange de procédures Présentation des stratégies

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Un problème de « point qui bouge » Points mobiles changement de registre

A l’aide de mise en TRAIN liées le motif se dessine, se tisse Pour que les liens se fassent, il est nécessaire d'avoir travaillé les outils en amont

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