Le Calcul en Collège « Les étudiants d’aujourd’hui ne savent plus calculer » Jean Dieudonné, calcul infinitésimal, 1968

Une rénovation nécessaire Parce que les programmes des collèges ont changé (BO Spécial N°6 du 28/08/2008) Parce que l’évaluation du pilier 3 du socle commun est mise en place. Parce que les documents de référence ont été mis à jour Tout simplement parce que le regard sur le calcul a changé

Le point de vue traditionnel Le calcul s’oppose au raisonnement Le calcul est un travail sans intérêt Ce travail est réductible à des tâches mécaniques

Au contraire Calculer c’est d’abord rendre une situation accessible au calcul Calculer c’est ensuite organiser le travail en algorithme et parfois en programme Calculer c’est enfin estimer la validité des résultats obtenus. Bref un calcul se prépare, se conduit, se contrôle CHACUNE DE CES ETAPES MET EN ŒUVRE DES RAISONNEMENTS

Une typologie du calcul numérique On est amené à classer les calcul selon le support utilisé (mental, papier crayon, instruments) Mais aussi selon le type de déroulement de calcul (direct, informatisé ou programmé) Notons enfin que l’on appelle calcul réfléchi un calcul où l’optimisation de la méthode est liée non au problème mais aux données. Cela conduit à la typologie suivante

Un classement des types de calcul

Le calcul mental C’est le calcul premier par excellence. Parce que c’est le premier que l’on apprend Parce qu’il fournit des résultats indispensables aux autres activités de calcul (tables, carrés, changements d’unités) Parce que l’élève y est entraîné depuis l’école primaire L’entraînement doit être poursuivi, amélioré, approfondi

Le calcul posé Un aspect culturel Un exemple d’algorithme Un renforcement des automatismes

Le calcul instrumenté Pour alléger la charge cognitive Pour faciliter les conjectures en phase exploratoire

Le calcul algébrique

La « révolution » de la pensée algébrique En arithmétique, l’élève progresse du connu vers l’inconnu en produisant pas à pas des résultats intermédiaires. En algèbre, il établit des relations entre connu et inconnu, puis il calcule sur ces relations jusqu’à obtenir le résultat cherché

A-t-on toujours besoin du calcul algébrique ? Des élèves se cotisent pour acheter un ballon à un de leur camarade. Chacun doit payer 2 euros. Au dernier moment, 3 ne paient pas, il faut alors que les autres payent 0,5 euro en plus. Combien coûte le ballon ?

Autres exemples On pense à un nombre, on le multiplie par 5, on ajoute 3 au résultat et on obtient alors 48. A quel nombre a-t-on pensé ? Deux élèves choisissent en commun un nombre. Le premier le multiplie par 5 et ajoute 3 au résultat. Le second le multiplie par 8 et ajoute 1 au résultat. Ils constatent qu’ils obtiennent le même nombre. Quel nombre avaient-ils choisi ?

Cadre géométrique On borde un carré de 6cm de côté, extérieurement par des petits carrés de 1cm. Combien faut-il de petits carrés ? Et si le carré initial a 15cm de côté ? 100cm ? Peut-on trouver une formule qui permette de calculer dans tous les cas ?

En guise de conclusion A cet élève se disant lésé par une mauvaise note en raison d’une erreur de calcul le professeur répondit: « le pont que tu as calculé s’est écroulé, il y a eu 54 victimes. Les dégâts portent sur des millions d’Euros et il faudra des mois pour reconstruire et tu te crois lésé? »

Références Les Programmes (BO Sp du 28/08/2008) Document d’accompagnement le calcul au collège http://media.education.gouv.fr/file/Programmes/17/1/doc_acc_clg_calcul_numerique_109171.pdf Grille d’évaluation Socle commun, Pilier 3 http://ww2.ac-poitiers.fr/math/IMG/pdf/Grille_pilier3.pdf