SUJETS SPÉCIAUX EN INFORMATIQUE 1 PIF6003

Amélioration des images par filtrage spectral Fondements de l’analyse fréquentielle Filtrage spectral Lissage d’images (élimination du bruit) Rehaussement d’images (mise en évidence de structures dans l’image) Corrélation spectrale Filtrage spectral: FFT et OpenCV Transformée par ondelettes Filtre de Gabor

Fondements de l’analyse fréquentielle (spectrale) Fondements: notions de fréquences Dans une image les régions dont le fonction de luminance est constante correspond à la fréquence 0. La puissance de la fréquence 0 d’une image (l’importance) correspond à la moyenne de l’image. Les hautes fréquences de la fonction image correspondent à des changements brusques de l’amplitude de la fonction image (contours, bruits) Les basses fréquences de la fonction image correspondent à des changements lents de l’amplitude de la fonction image.

Fondements de l’analyse fréquentielle (spectrale) Fondements: notions de fréquences Basse fréquence Haute fréquence

Fondements de l’analyse fréquentielle (spectrale) Fondements: notions de fréquences Utilisation de l’analyse fréquentielle (transformée de Fourier) Analyse de signaux et d’images Lissage de signaux et d’image (filtrage passe-bas) Rehaussement de signaux et d’image (filtrage passe-haut) Analyse de textures Analyse de formes (descripteurs de Fourier) Compression d’images en format JPEG

Filtrage spectral Fondements Transformée de Fourier (TF) Série de Fourier (synthèse du signal d’une onde carrée 1-D) Transformée de Fourier (représentation du signal dans le domaine spectral) Transformée de Fourier (TF) Propriétés utiles

Série de Fourier (synthèse du signal d’une onde carrée 1-D) Fig. 377 et 378 [rf. N.PISKOUNOV, Calcul différentiel et intégral, p. 362-3]

Série de Fourier (synthèse d’un signal 1-D) + + +

Transformée de Fourier (représentation du signal dans le domaine spectral) Spatial 1 2 3 -1 -2 -3 Spectral

Transformée de Fourier (représentation du  signal dans le domaine spectral: signaux stationnaires)

Transformée de Fourier (représentation du  signal dans le domaine spectral: signaux stationnaires)

Transformée de Fourier (représentation du  signal dans le domaine spectral: signaux non-stationnaires)

Transformée de Fourier (TF) où x, y : coordonnées spatiales u, n : coordonnées spectrales

Transformée de Fourier (TF) La transformée de Fourier d’une gaussienne Nous multiplions le membre de droite par

Transformée de Fourier (TF) F(u) devient alors

Propriétés IMPORTANTES de la transformée de Fourier

Définitions de la transformée de Fourier

Définitions de la transformée de Fourier

Propriétés de la transformée de Fourier

Propriétés de la transformée de Fourier

Propriétés (translation) de la transformée de Fourier

Propriétés (rotation) de la transformée de Fourier

Transformée de Fourier de la gaussienne CAS CONTINU CAS DISCRET

Transformée de Fourier de la gaussienne

Transformée de Fourier de la gaussienne Forme générale du filtre gaussien spectral

Lissage d’images (élimination du bruit) OTF PSF Profil d’une ligne nc ® cutoff frequency nc nc FIGURE 1-12 [rf. SCHOWENGERDT, p. 26]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB) Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB) H ( u, n) H ( u, n) 1 D ( u, n) D0 n u (a) Tracé en perspective de la fonction de transformation d’un filtre passe-bas idéal (b) section transversale du filtre. Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB) Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB) Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB) Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB) H ( u, n) H ( u, n) 1 0.5 D ( u, n) D0 1 2 3 u n (a) Un filtre passe-bas de Butterworth (b) section radiale transversale pour n = 1. Figure 4.34 [rf. GONZALEZ, p. 208]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB) Figure 4.34 [rf. GONZALEZ, p. 208]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB) Figure 4.34 [rf. GONZALEZ, p. 208]

Rehaussement d’images (mise en évidence de structures dans l’image) Filtre spectral PASSE-HAUT (PH)

Filtre spectral PASSE-HAUT (PH) H ( u, n) H ( u, n) 1 D ( u, n) D0 u n Tracé en perspective et section radiale transversale du filtre passe-haut idéal. Figure 4.37 [rf. GONZALEZ, p. 212]

Filtre spectral PASSE-HAUT (PH) H ( u, n) H ( u, n) 1 0.5 D ( u, n) D0 1 2 3 u n Tracé en perspective et section radiale transversale du filtre passe-haut Butterworth pour n = 1. Figure 4.38 [rf. GONZALEZ, p. 213]

Filtre spectral gaussien PB/PH Figure 4.38 [rf. GONZALEZ, p. 213]

Corrélation spectrale (corrélation spatiale) Avec l’origine de w à 0,0 Avec l’origine de w à J/2,K/2 Figure 4.38 [rf. GONZALEZ, p. 213]

Corrélation spectrale Tout comme la convolution, la corrélation est onéreuse en temps de machine Pour accélérer la détection d’objet nous pouvons accomplir la corrélation dans le domaine spectral La propriété de corrélation de la transformée de Fourier stipule que: f(x,y)  w(x,y) <=> F*(u,v) W(u,v) F*(u,v): conjuguée complexe de F(u,v) W(u,v): Transformée de Fourier de w(x,y)

Corrélation spectrale Pour obtenir la corrélation spectrale nous devons alors accomplir les opérations suivantes: Faire la transformée de Fourier directe de f(x,y) pour obtenir F(u,v), {f(x,y)} = F(u,v) Faire la transformée de Fourier directe de w(x,y) pour obtenir W(u,v), {w(x,y)} = W(u,v)

Corrélation spectrale Pour obtenir la corrélation spectrale nous devons alors accomplir les opérations suivantes: Pour chaque point u,v du domaine spectral faire les calculs suivants:

Corrélation spectrale Pour obtenir la corrélation spectrale nous devons alors accomplir les opérations suivantes: Effectuer la transformée de Fourier inverse du résultat de F*(u,v) W(u,v) -1{F*(u,v) W(u,v)} = f(x,y)  w(x,y)

Corrélation spectrale

Filtrage spectral: FFT et OpenCV Voir les utilitaires de la transformée de Fourier dans le répertoire fourier sur le site ftp. Voir plus spécifiquement les fichiers: fourier.c procFourier.c

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (fourier.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (procFourier.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (Détails grossiers VS fins)

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: fast wavelet transform) Fonctionnelles de base mise à l’échelle et translatées

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: fast wavelet transform) Transformation discrète par ondelettes directe et inverse

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: fast wavelet transform) Transformation discrète par ondelettes directe et inverse

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: fast wavelet transform) Sachant que les fonctions 2D d’échelle  et d’ondelette  sont séparables Leurs formes digitales 1D h() et h() peuvent être appliquées (par convolution) aux rangées et colonnes d’une image et ce indépendamment h() peut être déduite de h() par: order-reversed modulated of h

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: processus de décomposition) Détails diagonaux (passe-haut) Détails verticaux (passe-haut) Détails horizontaux (passe-haut) Approximation (passe-bas)

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: processus de recomposition)

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (décomposition à 3 niveaux)

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (Forme des filtres) Coefficients du filtre de Daubechies du 4ième ordre Filtres de décomposition h(-n) et h(-n) Filtres de recomposition h(n) et h(n) (forme inverse)

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (Forme des filtres) Coefficients du filtre de Daubechies du 4ième ordre

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (Détection des arêtes et contours) Élimination des coefficients de l’image d’approximation (passe-bas) Élimination des coefficients de l’image des détails Verticaux aux deux résolutions

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution

Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution

Filtre de Gabor Le filtre de Gabor découle de la multiplication d’une fonction cosinus (forme symétrique) et d’une gaussienne Le filtre de Gabor sert à détecter des régions de contenu fréquentiel et d’orientation donnée dans une image Lors du processus de convolution, le filtre de Gabor répond fortement dans les régions contenant certaines fréquences et orientation

Filtre de Gabor Image originale, avec l’image résultant de l’application du filtre de Gabor pour différentes fréquences (2) et orientations (2)

Résumé Amélioration des images par filtrage spectral Fondements de l’analyse fréquentielle Filtrage spectral Lissage d’images (élimination du bruit) Rehaussement d’images (mise en évidence de structures dans l’image) Corrélation spectrale Filtrage spectral: FFT et OpenCV Transformation par ondelettes Filtre de Gabor