FONCTION DERIVEE

Sommaire : I NOMBRE DERIVE D'UNE FONCTION EN UN POINT : 1° Etude d'un exemple 2° Définition du nombre dérivé 3° Equation de la tangente II FONCTION DERIVEE: 1° Définition 2° Règles de dérivation 3° Tableau des dérivées usuelles 4° Exercice 5° Notation différentielle

I NOMBRE DERIVE D'UNE FONCTION EN UN POINT Sommaire

1° Etude d'un exemple Sommaire La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f(x) = x². Déterminer les coordonnées des points A ( 1 ; ), B ( 3 ; ) , C ( 2 ; ) et D ( 1,5 ; ) puis tracer les droites (A,B), (A,C) et (A,D). Pour chacun des 3 cas, quel est le coefficient directeur de la droite ? 1 er cas : a = 2 ème cas : a = 3ème cas : a = 1 9 4 2,25 4 3 2,5 2 4 6 B C D A Sommaire

est égal à 2, c’est aussi le nombre dérivé. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A (1 ; 1 ) ,droite passant par A et un point M (x ; x² ) le plus proche possible de A a = x² - 1 x – 1 (x + 1 ( x - 1 ) x – 1 D’où a = x + 1 on prend pour x la valeur 1 , l’abscisse la plus proche de l’abscisse de A d’où a = 2 Conclusion Le coefficient directeur de la tangente à la courbe f(x) = x² au point d’abscisse x = 1 est égal à 2, c’est aussi le nombre dérivé. Sommaire

2° Définition du nombre dérivé On appelle nombre dérivé de f en x0, le coefficient directeur a de la tangente à C au point M0. Le nombre dérivé est noté f’(x0) avec f’(x0) = a Sommaire

3° Equation de la tangente L’équation de la tangente à la courbe au point M0( x0;y0 ) est :y - y0 = f’(x0) ( x – x0) Sommaire

Application : Donner l’équation de la tangente à la courbe f(x) = x² au point A et la tracer sur le repère précédent. A ( 1 ; 1 ) et a = f’(1) = 2 y – 1 = 2( x – 1) y – 1 = 2x - 2 y = 2x – 1 : équation de la tangente au point A Sommaire

II FONCTION DERIVEE Sommaire

1° Définition La fonction f’, qui a tout x associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f . Sommaire

2° Règles de dérivation Si f = u + v alors f' = f = 1/u alors f' = f = k × u alors f' = f = u / v alors f' = f = u  v alors f' = f = u alors f' = f = un alors f' = u’ + v’ -u’/u² k × u’ u’ × v – u × v’ v² u’×v + u × v’ u’ 2 u n × u’ × u n - 1 Sommaire

3° Tableau des dérivées usuelles f(x) f’(x) f(‘x) a 3 ax 2x ax + b 2x - 6 xn x5 ax² 5x² ax² + bx + c 2x² + 3x - 5 1/x 2/x √x 3 √x √ax + b √3x + 5 cos x sin x cos( ax +b) cos(5x +4) sin(ax + b) sin(2x + 3) a 2 a 2 n x n-1 5x4 2 a x 10 x 2ax+ b 4x + 3 -1/x² -2/x² 1/2√x 3/2√x - sinx a /√ax+b 3 /√3x+5 cos x -a sin(ax+b) -5sin(5x+4) a cos(ax+b) 2 cos(2x+3) Sommaire

4° Exercice Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe d’équation f(x) = 2x² +3x - 1 au point d'abscisse x = - 2 ? Ecrire l'équation de la tangente. f’(x) = f’(x) = 4x + 3 a = f’(-2) = a = f’(-2) = 4 ×(-2) + 3 a = 5 Ordonnée du point d’abscisse -2 ; y = f(-2) = 2×(-2)² +3 ×(-2) -1 y = 1 y – 1 = 5(x –(-2)) y = 5x + 11 Sommaire

5) Notation différentielle df/dx est la notation différentielle de la dérivée à f Sommaire

Exemple : L'équation horaire d'un mobile dont le mouvement est rectiligne uniformément varié est x = f(t) avec f(t) =1/2 a .t² + v0.t + x0 . La vitesse est la dérivée de cette fonction par rapport au temps v = df/dt = L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps dv/dt = a étant l'accélération v0 la vitesse initiale x0 l'abscisse initiale . On dit aussi que l'accélération est la dérivée seconde de l'équation horaire par rapport au temps a = d²x/dt² Sommaire