Fabienne BUSSAC SPHERES ET BOULES 1. SPHERE ET BOULE : DEFINITIONS O est un point de l’espace, et R un nombre positif. La sphère de centre O et de rayon R est constituée de l’ensemble des points de l’espace dont la distance au point O est égale au rayon R. Fabienne BUSSAC Exemples : une bulle de savon, une balle de ping-pong peuvent être assimilées à des sphères. Elles sont vides. O La boule de centre O et de rayon R est constituée de l’ensemble des points de l’espace dont la distance au point O est inférieure ou égale au rayon R. Exemples : une boule de billard, une bille peuvent être assimilées à des boules. Elles sont pleines.

Le diamètre est 6, le rayon est 3 ! 2. AIRE ET VOLUME 4 ×  × R2 L’aire d’une sphère de rayon R est : 4 3 Le volume d’une boule de rayon R est : ×  × R3 Exemple 1 : l’aire d’une sphère de rayon 5 cm est : Fabienne BUSSAC A = 4 ×  × 5² = 4 ×  × 25 = 100  cm2 Exemple 2 : le volume d’une boule de diamètre 6 cm est : 4 3 4 3 4 × 3 × 9 3 V = ×  × 33 = ×  × 27 = ×  = 36  cm3 Le diamètre est 6, le rayon est 3 !

Fabienne BUSSAC 3. SECTION D’UNE SPHERE PAR UN PLAN OH > R Le plan ne coupe pas la sphère. OH = R Le plan est tangent à la sphère. La sphère et le plan ont un seul point commun : H. OH < R Le plan et la sphère sont sécants. La section est un cercle.

Le rayon r du cercle de section est inférieur au rayon R de la sphère. Exemple : les parallèles sur la Terre Fabienne BUSSAC

Cas particulier : le plan passe par le centre de la sphère. Le rayon r du cercle de section est égal au rayon R de la sphère. Dans ce cas, on parle de « grand cercle de la sphère ». Fabienne BUSSAC Exemple : l’équateur

Fabienne BUSSAC Calcul du rayon r du cercle de section : Exemple : Un plan (P) coupe une sphère de centre O et rayon 17 cm. La distance entre le centre de la sphère et le plan est de 8 cm. Calculer le rayon de la section de la sphère par le plan. Fabienne BUSSAC On cherche le rayon r de la section : r = HA. On connaît le rayon R de la sphère : R = OA = 17 cm, et OH = 8 cm. Le triangle OHA est rectangle en H donc d’après le théorème de Pythagore : OA² = OH² + HA² HA = 17² = 8² + HA² 289 = 64 + HA² HA = 15 cm HA² = 289 – 64 Le rayon du cercle de section est 15 cm. HA² = 225