Combinatoire, Informatique et Physique des liens anciens et étroits Quels langages communs ? Gérard H. E. Duchamp Séminaire du Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre Jeudi neuf Mars 2006

Mathematics AbstractApplied Physics Computer Science Electronics Mechatronics Adaptronics Artificial Intelligence Chaos Theory Continuous & Discrete Modelisation Business Banking Decision Making Complex Systems Complexity Computation Techniques Image Processing

Mathématiques InformatiquePhysique Non commutatif Mots Produits d’opérateurs Représentations Automates Structures de Transition Champs, Flots, Systèmes Dynamiques Formules, Algèbre Universelle Arbres avec Opérateurs Diagrammes Déformations q-analogues Groupes quantiques C o m b i n a t o i r e

Langages Théorie des codes Automates Structures de transition Grammaires Transducteurs Expressions rationnelles et algébriques … Polyominos Chemins (Dycks,…) Configurations q-grammaires Séries génératrices Fractions continues multivariées Polynômes orthogonaux … C o m b i n a t o i r e … des mots algébrique énumérative analytique Fractions continues non commutatives Représentations des groupes et déformations Groupes quantiques Foncteurs combinatoires Caractères Fonctions spéciales … Et, depuis peu

L a C o m b i n a t o i r e D y n a m i q u e Voir à la fin

20 villes. À chaque carrefour le voyageur peut tourner à droite (D) ou à gauche (G)

D 5 = G 5 = 1DG 3 D = G 2 de même … GD 3 G = D 2 DG 2 D = GDG de même … GD 2 G = DGD

D 5 = G 5 = 1 DG 3 D = G 2 GD 3 G = D 2 DG 2 D = GDG GD 2 G = DGD Trois questions importantes : Q1) Cette liste est-elle suffisante ? (Expérience de pensée des deux pièces) Q2) Peut-on la réduire ? (relations déduites) (voir diapo suivante) Q3) Peut-on décider de l’égalité de deux chemins ?

Exemple de déduction à l’aide des relations données : le voyage équatorial DG DG DG DG DG = 1

Ici le nombre de mots par longueur est Long ac=ca ac  ca

e

Exemple avec  = a + a a + a a + où a a + = a + a + 1 a + a a + a a +

a + aa + aa + = 1 a + a + a + aa + 3 a + a + a + 1 a +

Chemins de Dyck (parenthésages, arbres, physique, …) ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) )

Equation : D = vide + (D) D … on compte les «mots» avec un « x » par parenthèse et on trouve T(x)=x 0 + x 2 T 2 (x) ce qui se résout par la méthode usuelle … x 2 T 2 –T+1=0 Variable : T Paramètre : x

Changement de niveau en physique Positifs = D(aD) * 2 0 1

Automates et rationalité

New ! C o m b i n a t o i r e D y n a m i q u e Automates (à multiplicités et systèmes complexes) GIS : triangulations de Delaunay et cohérence Graphe de Young et probabilités Structures complémentaires (monoïde, Hopf)

Weight 4

Diagrams of (total) weight 5 Weight=number of lines

Mathématiques Informatique Physique Non commutatif Mots Produits d’opérateurs Représentations Automates Structures de Transition Champs, Flots, Systèmes Dynamiques Formules, Algèbre Universelle Arbres avec Opérateurs Diagrammes Déformations q-analogues Groupes quantiques C o m b i n a t o i r e Conclusion