Méthode de Lagrange Mécanique, cours 25.1 Jean-Philippe Ansermet Bonjour bienvenue au cours de physique générale de l’epfl Méthode de Lagrange Mécanique, cours 25.1 Jean-Philippe Ansermet

Méthode de Lagrange

Méthode de Lagrange Contraintes Nombre de degrés de liberté Déplacements virtuels compatibles Forces généralisées Equations de Lagrange Bonjour, Bienvenue au cours de physique générale de l’EPFL. Dans cette leçon, je vais vous apprendre une méthode très efficace pour résoudre un problème de mécanique, que ce soit la mécanique du point matériel ou du solide. On l’appelle la méthode de Lagrange, elle permet d’établir les équations du mouvement qu’on appelle alors les équations de Lagrange. C’est un plaisir de donner cette leçon, car lorsque je la donne à une classe, les étudiants sont clairement enthousiasmés d’apprendre une méthode rigoureuse, systématique, est très efficace. On va considérer des systèmes mécaniques avec des contraintes géométriques simples, dites holonômes. On va déterminer combien de coordonnées indépendantes on doit se donner, que ce soit des longueurs ou des angles. Je dois alors introduire la notion de déplacement virtuel compatible avec les contraintes et les exprimer en termes de ces contraintes. Cela va faire apparaître des forces généralisées, qui sont en général ou bien des forces, ou bien des moments de force. Enfin, on va arriver aux équations de Lagrange. J’en donnerais deux formulations qui permettent d’aborder toutes sortes de problèmes.

Définition : contraintes On considère un système de points matériels. On a N points numérotés par l’indice alpha. On a les vecteurs r_alpha qui définissent les positions. Maintenant on fait l’hypothèse suivante. On suppose que le système est soumis à des contraintes, des contraintes sur les positions des points matériels, et on suppose que ces contraintes peuvent être exprimées comme des relations entre les positions, sous la forme générale suivante : On a k équations qui définissent les contraintes. Quand on peut définir des contraintes sur les positions par de telles équations, on dit que les contraintes sont holonômes. Il faut noter que quand bien même ces contraintes ne dépendent pas des vitesses, elles peuvent dépendre explicitement du temps. On en verra quelques exemples.

Définition : nombre de degrés de liberté un point matériel sur un cône: 2 degrés de liberté ; un point matériel sur un cône et relié au sommet par une barre rigide: 1degré de liberté; un cylindre roulant sans glisser le long d'un plan incliné: 1 degré de liberté ; le même cylindre, mais glissant: 2 degrés de liberté ; deux points matériels astreints à se déplacer sur un cercle en maintenant une distance constante entre eux: $1 $ degré de liberté ; une barre oscillant autour de son centre avec un pendule à chaque bout, tous les mouvements restant dans un plan vertical: 3degrés de liberté.

Définition : coordonnées généralisées

Exemple de contrainte dépendant du temps

Définition : déplacements compatibles

Principe de d’Alembert Maintenant j’aimerais établir une étape intermédiaire qui nous fournira en fin de compte les équations de Lagrange. On va décomposer les forces en deux : toutes celles qui sont associées aux contraintes, et toutes les autres. Pour alléger les écritures, je considère un seul point matériel. Je peux écrire la 2ème loi de Newton, qui a deux termes de forces. Maintenant j’introduis un déplacement virtuel compatible avec les contraintes et je multiplie l’équation de Newton par ce terme. Comme d’habitude, je fais l’hypothèse que les forces de liaisons sont normales aux contraintes, donc elles sont perpendiculaires aux déplacements virtuels compatibles avec cette contrainte. Il reste alors …. Pour un système de points matériels, il suffit de sommer sur alpha. On a une équation un peu plus complexes, mais on s’est débarrasser des forces de contraintes. On appellera ce résultat le principe de d’Alembert.

Définitions : forces généralisées J’ai récris ici le principe de d’Alembert. Dans un premier temps, je porte mon attention sur les termes de forces. J’y mets mon expression générale du déplacement virtuel exprimé avec les n coordonnées généralisées. Je peux faire apparaître une somme sur les j degrés de liberté et j’adopte la convention d’appeler les termes Q_j les forces généralisées. En fait, comme le terme F dr a pour unité un travail ou une énergie, il en découle que si q_j est une distance, la force généralisée a l’unité des forces, Q_j a l’unité d’un moment de force, qui est une force fois un déplacement, donc, a la même unité qu’un travail.

Cinétique Je reprends mon expression du principe de d’Alembert, et je porte mon attention maintenant sur le terme contenant les vitesses. Pour alléger les écritures, on considère d’abord un seul point matériel. Ce passage est un peu lourd. Pour rendre clair où on va, j’annonce d’abord le résultat qu’on veut obtenir. Le voici. D’abord, j’applique mon expression du déplacement virtuel compatible en terme des q_j. Ensuite, j’écris un d/dt. Ce faisant, j’ai bien le terme qu’on a écrit, mais j’ai un terme en plus, que je doit soustraire. Et maintenant, j’utilise une propriété particulière de la cinématique exprimée avec des coordonnées généralisées. Comme r est une fonction de …., v, qui est la dérivée par rapport au temps, s’écrit … Ici, on note que r n’est pas fonction des dot q_j. Donc, on peut dire …. Alors le terme qu’on a dû soustraire, que je récris ici en explicitant les variables, doit s’écrire comme ceci . Ensuite je mets en évidence la dérive par rapport à q_j et je reconnais la vitesse.

Cinétique J’ai récris ici notre résultat intermédiaire. J’y mets explicitement le vecteur vitesse et j’utilise ce qu’on vient de trouver, ici et là….. Alors, je constate que le premier terme peut s’écrire …

Equations de Lagrange (1) En résumé, j’ai … On obtient ainsi la première forme des équations de Lagrange. Si on a plusieurs points matériels, alors on a les mêmes développement avec des sommes sur alpha partout, et on a l’énergie cinétique totale qui apparaît.

Equations de Lagrange (2) Si on a des forces conservatives, on a une expression très simple pour la force généralisé Q_j. Voici l’équation de Lagrange que nous avons déjà obtenue. Maintenant on peut inclure dans le deuxième terme –V. ET comme V ne dépend pas des dot q_j, on peut l’inscrire dans le premier Si on a des forces conservatives et des forces qui ne le sont pas, on a tout simplement ….