03 Volatilité dans le marché obligataire Lecture Fabozzi, ch. 4 Exercices suggérés Fabozzi, ch. 4: 1-13, 17-18 GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire © Stéphane Chrétien

Agenda de la section Volatilité du prix d’une obligation Propriétés dues à la convexité Caractéristiques affectant la volatilité Mesures de la volatilité Durée d’une obligation Convexité d’une obligation Approximation de la variation de prix Volatilité des taux au Canada GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Objectif principal Comprendre la volatilité du prix des obligations, et en particulier l’effet du risque de taux d’intérêt. Rappel sur la relation Prix–Taux de rendement: Relation inverse; Relation convexe. Rappel sur le risque de taux d’intérêt: C’est la sensibilité du prix d’une obligation aux changements dans le taux de rendement requis par les investisseurs. Pour un investisseur, le risque est associé à une hausse de taux. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Relation Prix–Taux de rendement GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Volatilité du prix d’une obligation En étudiant attentivement les changements de prix des obligations pour des changements de taux, il est possible d’identifier: Quatre propriétés de la volatilité du prix des obligations qui sont reliées à la convexité de la relation Prix–Taux de rendement et sont valides pour les obligations sans clause optionnelle; Trois caractéristiques spécifiques aux obligations qui affectent leur volatilité. Les tableaux suivants permettent de déceler ces quatre propriétés et trois caractéristiques. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Prix d’obligations hypothétiques Taux de coupon 9,00 % 6,00 % 0,00 % Échéance (ans) 5 25 112,80 $ 138,59 $ 100,00 $ 74,41 $ 22,81 $ 7,00 % 108,32 $ 123,46 $ 95,84 $ 88,27 $ 70,89 $ 17,91 $ 8,00 % 104,06 $ 110,74 $ 91,89 $ 78,52 $ 67,56 $ 14,07 $ 8,99 % 100,04 $ 100,10 $ 88,17 $ 70,43 $ 64,42 $ 11,10 $ 88,13 $ 70,36 $ 64,39 $ 11,07 $ 9,01 % 99,96 $ 99,90 $ 88,09 $ 70,28 $ 64,36 $ 11,04 $ 10,00 % 96,14 $ 90,87 $ 84,56 $ 63,49 $ 61,39 $ 8,72 $ 11,00 % 92,46 $ 83,07 $ 81,16 $ 57,67 $ 58,54 $ 6,88 $ 12,00 % 88,96 $ 76,36 $ 77,92 $ 52,71 $ 55,84 $ 5,43 $ GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Changements de prix (en %) Taux de coupon 9,00 % 6,00 % 0,00 % Échéance (ans) 5 25 12,80 % 38,59 % 13,47 % 42,13 % 15,56 % 106,04 % 7,00 % 8,32 % 23,46 % 8,75 % 25,46 % 10,09 % 61,73 % 8,00 % 4,06 % 10,74 % 4,26 % 11,60 % 4,91 % 27,10 % 8,99 % 0,04 % 0,10 % 0,11 % 0,05 % 0,24 % 9,01 % -0,04 % -0,10 % -0,11 % -0,05 % -0,24 % 10,00 % -3,86 % -9,13 % -4,06 % -9,76 % -4,66 % -21,23 % 11,00 % -7,54 % -16,93 % -7,91 % -18,03 % -9,08 % -37,89 % 12,00 % -11,04 % -23,64 % -11,59 % -25,08 % -13,28 % -50,96 % GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Propriétés reliées à la convexité 1- Le changement de prix en % n’est pas le même pour toutes les obligations. 2- Pour de petits changements dans le taux requis, le changement de prix en % d’une obligation est similaire pour une hausse ou une baisse de taux. 3- Pour de grands changements dans le taux requis, le changement de prix en % d’une obligation n’est pas le même pour une hausse ou une baisse de taux. 4- Pour un grand changement donné dans le taux requis, la hausse de prix en % est plus grande que la baisse de prix en %. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Caractéristiques affectant la volatilité Toutes choses étant égales par ailleurs, trois caractéristiques affectent la volatilité: 1- Taux de coupon: Plus le taux de coupon est faible, plus la volatilité est grande. 2- Échéance: Plus l’échéance est longue, plus la volatilité est grande. 3- Taux de rendement: Plus le taux de rendement est élevé, plus la volatilité est faible. Si un investisseur anticipe une baisse de taux, il serait préférable qu’il détienne un portefeuille d’obligations à faible taux de coupon, à longue échéance et à faible taux de rendement. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Mesures de la volatilité Il est important de pouvoir mesurer la volatilité du prix d’une obligation afin de bien évaluer le risque de taux d’intérêt. En pratique, trois mesures sont couramment utilisées: 1- Prix ou valeur d’un point de base; 2- Valeur en rendement d’une variation de prix; 3- Durée (duration). GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Prix d’un point de base Prix d’un point de base: Changement dans le prix (en $) d’une obligation dû à une variation d’un point de base de rendement. Point de base = 0,01 %. Prix d’un point de base relatif: Changement dans le prix (en % du prix initial) d’une obligation dû à une variation d’un point de base. Plus le prix d’un point de base est grand, plus le prix du titre est volatil. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Prix d’un point de base – Exemple Taux de coupon 9,00 % 6,00 % 0,00 % Échéance (ans) 5 25 112,80 $ 138,59 $ 100,00 $ 74,41 $ 22,81 $ 7,00 % 108,32 $ 123,46 $ 95,84 $ 88,27 $ 70,89 $ 17,91 $ 8,00 % 104,06 $ 110,74 $ 91,89 $ 78,52 $ 67,56 $ 14,07 $ 8,99 % 100,04 $ 100,10 $ 88,17 $ 70,43 $ 64,42 $ 11,10 $ 88,13 $ 70,36 $ 64,39 $ 11,07 $ 9,01 % 99,96 $ 99,90 $ 88,09 $ 70,28 $ 64,36 $ 11,04 $ 10,00 % 96,14 $ 90,87 $ 84,56 $ 63,49 $ 61,39 $ 8,72 $ 11,00 % 92,46 $ 83,07 $ 81,16 $ 57,67 $ 58,54 $ 6,88 $ 12,00 % 88,96 $ 76,36 $ 77,92 $ 52,71 $ 55,84 $ 5,43 $ GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Prix d’un point de base relatif – Exemple Taux de coupon 9,00 % 6,00 % 0,00 % Échéance (ans) 5 25 12,80 % 38,59 % 13,47 % 42,13 % 15,56 % 106,04 % 7,00 % 8,32 % 23,46 % 8,75 % 25,46 % 10,09 % 61,73 % 8,00 % 4,06 % 10,74 % 4,26 % 11,60 % 4,91 % 27,10 % 8,99 % 0,04 % 0,10 % 0,11 % 0,05 % 0,24 % 9,01 % -0,04 % -0,10 % -0,11 % -0,05 % -0,24 % 10,00 % -3,86 % -9,13 % -4,06 % -9,76 % -4,66 % -21,23 % 11,00 % -7,54 % -16,93 % -7,91 % -18,03 % -9,08 % -37,89 % 12,00 % -11,04 % -23,64 % -11,59 % -25,08 % -13,28 % -50,96 % GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Valeur en rendement d’une variation de prix Changement dans le rendement d’une obligation dû à une variation de prix donnée. En pratique, la variation de prix utilisée reflète souvent le changement minimal dans la cote du marché: Marché obligataire gouvernemental américain: 1/32; Marchés corporatif et municipal: 1/8. Plus le changement de rendement est élevé, moins le prix du titre est volatil. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée – Introduction Une façon de voir l’effet sur le prix d’une petite variation du taux de rendement est de prendre la dérivée de la fonction de prix par rapport au taux: dP/dy. En divisant par P, on obtient la variation du prix en % due à une petite variation du rendement: dP/dy × 1/P = (dP/P)/dy. Rappel mathématique: Graphiquement, la dérivée dP/dy mesure la pente de la fonction de prix au taux de rendement y. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée en graphique GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée – Introduction (suite) Deux mesures de durée ont été développées à partir de cette dérivée: Durée de Macaulay; Durée modifiée. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée de Macaulay Durée de Macaulay: D représente la moyenne pondérée des échéances t des flux monétaires FMt, où chaque pondération correspond à la contribution au prix de l’obligation P du flux monétaire. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée modifiée Durée modifiée: Dm est directement reliée à la variation du prix en % due à une petite variation du taux de rendement. Le signe négatif rappelle qu’il existe une relation inverse entre le prix et le taux de rendement. La durée modifiée est une meilleure mesure de la volatilité que la durée de Macaulay. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée modifiée (suite) Comme pour le prix d’une obligation, la durée modifiée peut être écrite en séparant les termes de coupon du terme de valeur nominale: Les durées sont exprimées en termes de périodes de coupon. Ex: Dm = 6,2 périodes de six mois. Dm en année = Dm en période de coupon / m. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée – Exercices 1- Trouver D et Dm pour une obligation à valeur nominale M venant à échéance dans n périodes avec un taux de coupon et un taux de rendement par période donnés respectivement par TC et y. A) TC=6 %, n=5, M=100 $ et y=6 %. B) TC=0 %, n=5, M=100 $ et y=6 %. C) TC=6 %, n=5, M=100 $ et y=2 %. D) TC=6 %, n=25, M=100 $ et y=6 %. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée – Propriétés D ≤ n. Si TC = 0, D = n. Dm < n. Une hausse de TC entraîne une baisse de D et Dm. Une hausse de n entraîne (normalement) une hausse de D et Dm. Une hausse de y entraîne une baisse de D et Dm. Entre deux dates de coupon: D[k] = D[0] – k. La durée d’un portefeuille est la moyenne pondérée des durées des obligations du portefeuille, où chaque pondération est égale à la proportion du portefeuille investie dans l’obligation. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Approximation de la variation de prix On peut approximer linéairement la variation de prix d’une obligation à l’aide de la durée modifiée: Plus Δy est petit, plus l’approximation est meilleure (puisque Dm est une mesure dite locale). On nomme DmP la durée en dollar (dollar duration). GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Approximation – Exercices 2- Pour l’obligation suivante: TC=4,5 %, n=50, y=4,5 %, P=M=100 $ et Dm=19,76. Quelles sont la variation approximative et la vraie variation de prix pour une augmentation du taux de rendement de: A) 0,05 % B) 1,5 % GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Convexité – Introduction La durée offre une mesure convenable de la volatilité du prix d’une obligation pour de faibles variations du taux de rendement. Pour une meilleure mesure lors de fortes variations du taux de rendement, il faut tenir compte de la convexité de la relation Prix–Taux de rendement. En mathématique, le degré de courbure d’une fonction est relié à sa dérivée seconde: d2P/dy2 Graphiquement, la dérivée seconde d2P/dy2 mesure le changement de la pente de la fonction de prix pour un faible changement de y. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Convexité en graphique GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Mesure de convexité Mesure de convexité: GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Mesure de convexité (suite) La mesure de convexité C est exprimée en termes de période de coupon au carré. Ex: C = 23,2 périodes de six mois au carré. C en année2 = C en période de coupon2 / m2. On nomme C×P la mesure de convexité en dollar (dollar convexity). GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Convexité – Exercices 3- Trouver C pour une obligation à valeur nominale M venant à échéance dans n périodes avec un taux de coupon et un taux de rendement par période donnés respectivement par TC et y. A) TC=6 %, n=5, M=100 $ et y=6 %. B) TC=6 %, n=5, M=100 $ et y=2 %. C) TC=0 %, n=5, M=100 $ et y=6 %. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Convexité – Propriétés et valeur Convexité positive: Une hausse de y entraîne une baisse de C et vice versa. Pour un taux de rendement et une échéance données, une baisse de TC entraîne une hausse de C et vice versa. Pour un taux de rendement et une durée modifiée données, plus faible est TC, plus petite est C. Valeur de la convexité: Le marché « aime » la convexité et sera prêt à payer un prix relatif plus élevé (ou exiger un rendement relatif plus faible). GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Approximation de la variation de prix On peut estimer la variation de prix à l’aide de l’approximation (quadratique) de Taylor: GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Approximation – Exercices 4- Pour l’obligation suivante: TC=4,5 %, n=50, y=4,5 %, P=M=100 $, Dm=19,76 et C=642,88. Si on augmente le taux de rendement de 1,5 %, quelle est la variation de prix en utilisant: A) La durée et la convexité (approximation quadratique). B) La durée seulement (approximation linéaire). C) Le vrai prix. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Remarques sur la durée et la convexité Les mesures présentées supposent une structure à terme des taux d’intérêt horizontale et des mouvements de taux parallèles. Elles sont valides pour des obligations standards. Elles ne s’appliquent pas toujours lorsqu’il y a des clauses optionnelles. En particulier, l’objectif de la durée est de mesurer la sensibilité du prix par rapport au taux d’intérêt. La durée correspond à une moyenne pondérée des échéances presque exclusivement pour des obligations standards. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée et convexité effectives Il est possible d’approximer la durée modifiée et la convexité pour obtenir des mesures valides pour n’importe quel type d’obligations et n’importe quelle forme de la structure à terme des taux. Les mesures obtenues sont appelées la durée et la convexité effectives: GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée et convexité effectives – Exemple Taux de coupon 9,00 % 6,00 % 0,00 % Échéance (ans) 5 25 112,80 $ 138,59 $ 100,00 $ 74,41 $ 22,81 $ 7,00 % 108,32 $ 123,46 $ 95,84 $ 88,27 $ 70,89 $ 17,91 $ 8,00 % 104,06 $ 110,74 $ 91,89 $ 78,52 $ 67,56 $ 14,07 $ 8,99 % 100,04 $ 100,10 $ 88,17 $ 70,43 $ 64,42 $ 11,10 $ 88,13 $ 70,36 $ 64,39 $ 11,07 $ 9,01 % 99,96 $ 99,90 $ 88,09 $ 70,28 $ 64,36 $ 11,04 $ 10,00 % 96,14 $ 90,87 $ 84,56 $ 63,49 $ 61,39 $ 8,72 $ 11,00 % 92,46 $ 83,07 $ 81,16 $ 57,67 $ 58,54 $ 6,88 $ 12,00 % 88,96 $ 76,36 $ 77,92 $ 52,71 $ 55,84 $ 5,43 $ GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Durée et convexité effectives – Exemple Exemple pour Δy = 1 %: En comparaison, les véritables Dm et C sont: Dm = 10,62; C = 182,92. GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Volatilité des taux au Canada, janvier 1986–avril 2013 Source des données: Banque du Canada Taux court terme (3 mois): Moyenne: 4,8 % Écart-type: 3,2 % Minimum: 0,1 % Maximum: 13,6 % Avril 2013: 1,1 % GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Volatilité des taux au Canada, janvier 1986-avril 2013 (suite) Taux moyen terme (5 ans): Moyenne: 5,7 % Écart-type: 2,6 % Minimum: 1,1 % Maximum: 12,1 % Avril 2013: 1,2 % Taux long terme (25 ans): Moyenne: 6,4 % Écart-type: 2,2 % Minimum: 2,4 % Maximum: 13,5 % Avril 2013: 2,5 % GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire

Évolution des taux au Canada GSF-3100 – Marché des capitaux 03 Volatilité dans le marché obligataire