Gestion de portefeuille 2 Rappels sur les principes de base d’évaluation des actions et des obligations

I. Evaluation du prix d’une action Sur un marché efficient, les prix des actifs s’établissent de façon à ce que le rentabilités anticipées ( espérées) soient liées aux risques perçus. Modèle actuariel: Action= titre dont le prix est égal à la valeur actualisée des dividendes futurs ( + valeur future de revente) à un certain taux Dividendes futurs: nécessairement anticipés sauf dans le cas d’un avenir certain

I.1 Le cas certain ( déterministe) Formules actuarielles d’évaluation

PER=Price Earning ratio Bénéfices des douze derniers mois Taux de croissance des dividendes pour l’année i Part de bénéfice distribué l’année i

Cas ou les taux de distribution des bénéfices et de croissance des dividendes sont constants Le PER a l’expression simplifiée suivante: (Modèle de Gordon Shapiro); DDM Dividend Discount Model

Remarque: en déterministe, le taux d’actualisation r de la formule de Gordon-Shapiro est souvent interprété comme le taux de rendement actuariel de l’action ou retour sur investissement correspondant à l’achat de l’action

On a supposé que r est un taux d’actualisation donné de manière exogène En fait, r est endogène: il correspond au taux de rendement de l’action entre deux dates successives, s’il est supposé constant (et non aléatoire) sur toutes les périodes futures En effet, le taux rendement entre les dates 0 et 1 est défini par: de même, entre le dates 1 et 2:

En reportant dans l’équation (1) l’expression de P1 en fonction de P2, (équation (2)), puis celle de P2 en fonction de P3 etc…on trouve: Ce qui correspond à l’expression initiale de P0:

Remarque à propos du taux de rendement d’une action On a défini le taux de rendement d’une action entre les dates 0 et 1 comme S’il est petit devant 1 ( quelques %) on a l’approximation suivante: Le taux de rendement peut donc calculé comme la différence des logarithmes des prix successifs

I.2 Introduction du risque ( environnement aléatoire) En déterministe – sans trace d’anticipation, on ne voit pas le risque En environnement incertain, les différents taux sont anticipés : Monde où les investisseurs sont neutres au risque: les anticipations ne reflètent pas d’aversion pour le risque, même s’il existe Si les agents ne sont pas neutres au risque, leurs anticipations doivent intégrer cette non neutralité (aversion ou goût pour le risque)

Dans un monde risqués, les rendements successifs, R1, R2, …sont aléatoires, et donc les taux de rendement associés r1,r2, ... Dans ce cas, on peut conserver la formule précédente à condition de remplacer le taux constant r par un taux de rendement anticipé ra que l’on peut supposer constant pour toutes les périodes (années) à venir: r1a = r2a…=ra Ce taux de rendement anticipé intègre a priori une prime de risque  par rapport au taux de rendement d’un titre sans risque (livret de caisse d’épargne)): si les agents sont averses au risque, ils n’investissent dans un titre risqué que si le taux de rendement anticipé (espéré) est plus grand que le taux de rendement du titre sans risque, ) rF (F comme free risk en anglais) On écrira donc:

D’où la formule de Gordon-Shapiro étendue au cas où l’environnement est risqué: si les agents sont averses au risque, le taux d’actualisation ( taux de rendement attendu ou espéré ou anticipé, ra) est plus grand que rF (la prime de risque est positive), indiquant une plus grande préférence pour le présent que dans le cas d’un placement à la caisse d’épargne (titre sans risque)

II. Valorisation d’une obligation Obligation: titre de créance qui matérialise la dette d’un emprunteur ( le vendeur –émetteur de l’obligation) à l’égard du prêteur (l’acheteur) qui détient l’obligation Zéro-coupon: obligation qui rapporte à une échéance donnée la valeur 1 sans distribuer de coupon Son prix varie au cours du temps t et est fonction de l’échéance T: B(t, T) B comme bond (=obligation) t=1; si T est mesuré en années, on appelle taux de rendement actuariel annuel , le taux b tel que:

II.1 Mathématiques des taux d’intérêt Le taux de rendement d’une obligation à une date t entre t et t+1 , avec versement d’un coupon est donné par: La différence avec une action? les coupons sont fixes et certains contrairement aux dividendes ( incertains et potentiellement croissants ou décroissants Le taux varie en sens inverse du prix de première date (t)

Plus généralement, si une obligation a une échéance n et verse des coupons pour i<n ) avec un remboursement ( à la date d’échéance n) Le taux de rendement actuariel de l’obligation, r, est solution de : où P est la valeur de marché de l’obligation ( à la date l’émission) (cotation).

Cas d’une obligation versant un coupon constant perpétuel C, Son prix, pour un taux d’intérêt r est égal à : Les prix des obligations résultent d’ajustement offre-demande sur les marchés et dépendent du coût de l’argent tel qu’il est fixé par les autorités monétaires (qui relèvent ou abaissent le taux directeur selon que l’économie pour relancer ou freiner l’activité, en cas de « surchauffe ») ON peut alors se poser la question de la sensibilité des prix d’obligation à une variation du taux Considérons une obligation versant un coupon perpétuel C=12 euros, et émise à un prix P0 de 100 euros ; le taux associé est tel que: Si les taux augmentent de 2% par suite d’une intervention des autorités monétaires , une obligation à coupon perpétuel aura un prix d’émission égal à 100 si elle distribuent des coupons de 14 euros L’obligation initiale ne sera intéressante que si son prix baisse: de 100 à

Introduction de la duration pour étudier la sensibilité des prix des obligations aux variations de taux La duration est définie par Elle permet de mesurer la sensibilité du prix d’une obligation à une variation de r Remarque: la duration est homogène à une durée: elle est égale à la maturité dans le cas d’un zéro-coupon

II.2 Cotation d’une obligation Au moment de l’émission, on caractérise une obligation par la valeur nominale, l’échéancier des remboursements et les coupons versés. Ainsi si l’état émet le 1er Janvier 2006 un emprunt de 67,952 millions d’euros matérialisé par des obligations de 2000 euros de nominal, portant un coupon de 170 euros et remboursable au pair ( 2000 euros) le 1er Avril 2037. Cette obligation apparaît sous le titre d’une OAT (Obligation Assimilable du Trésor) de taux d’intérêt nominal (Coupon/valeur nominale) égal à 8,5%

Extrait d’un tableau spécifiant le clauses Commentaires (voir page suivante) Calcul du prix à la date du 27 Septembre 2006 au coupon couru (voir définition plus loin) car on compte 155 jours entre le 25/04/2006 ( date de versement du dernier coupon avant le 27/01/06) et le 27/01/06

Exemple d’informations relatives à l’OAT précédente Tableau: Première colonne: valeur nominale de l’emprunt Première ligne le montant (67952 millions d’euros) pour l’OAT 8,5% 2006-2037 Deuxième ligne: le montant d’une coupure (=valeur nominale d’une obligation, soit 2000 euros) Le premier groupe de colonnes qui suit décrit les conditions de remboursement. L’OAT est remboursée in fine ( Mode FIN) c’est-à-dire en une seule fois le 1er Avril 2037. son prix de remboursement est égal au pair ( 100% de son nominal) Est aussi indiquée la qualité de l ’emprunteur ( l’émetteur de l’obligation, ici l’état) Le second groupe de colonnes apporte les informations sur les coupons Les coupons de l’obligation de 170 euros par coupure de 2000 euros sont payables chaque 25 Avril. Remarque: pas de coupon couru dans ce cas Information sur la duration, la durée de vie moyenne et la sensibilité ( vues plus loin) Une colonne donne le cours, 121,15% du nominal ( hors coupon couru) et la date de cotation correspondante, ici, le 27 Septembre 2006.

1. Caractéristiques d’une obligation: rappels Le nominal Le nominal correspond au montant du capital qui est rémunéré au taux du coupon. C’est le montant qui sera remboursé à l’échéance soit 1€ par titre. Code ISIN C’est le numéro d’identification des valeurs mobilières qui répond à des normes internationales. Cours Les obligations ne sont pas cotées en euros, comme les actions, mais en pourcentage hors coupon couru. Pour obtenir le prix d’une obligation (OAT), il faut multiplier le nominal par le cours exprimé en pourcentage, augmenté du coupon couru exprimé en pourcentage. Coupon Le coupon est égal au taux indiqué dans le nom de l’obligation multiplié par le nominal de la valeur. Coupon couru: le coupon couru représente la partie du coupon due à l’instant T. Date d’amortissement (ou de remboursement ou échéance) C’est la date à laquelle l’État rembourse, au détenteur de l’OAT, le montant du nominal, soit 1€ par titre ; l’État verse aussi à cette date le montant du dernier coupon annuel. Date de règlement Comme pour la plupart des valeurs mobilières cotées en Europe, le règlement de l’achat ou de la vente d’une OAT intervient 3 jours de Bourse après la transaction. C’est le coupon couru à la date de règlement, et non à la date de la transaction, qui est considéré pour le calcul du prix de l’OAT ; de même, pour les OATi et OAT€i, c’est le coefficient d’indexation à la date de règlement qui est appliqué. 

2. Qu’est-ce qu’un coupon couru? Le coupon couru est la valeur du coupon qui est attaché prorata temporis à une obligation un jour donné. En effet, un investisseur qui achète puis revend une obligation avant que celle-ci n’ait versé son coupon annuel ne perçoit pas d’intérêt de la part de l’émetteur. Pourtant, il doit être rémunéré pour avoir détenu un titre obligataire pendant une fraction d’année.  Cette rémunération est garantie grâce au coupon couru.  Le coupon couru représente l’intérêt dû sur la période qui s’est écoulée depuis la date du dernier coupon versé ou, s’il n’y a pas encore eu de coupon versé, depuis la date de jouissance*.  Un investisseur qui vend une OAT reçoit, de la part de l’acheteur, le coupon couru à la date de règlement ; cette date de règlement se situe trois jours après la date de transaction ; le vendeur reçoit donc, de la part de l’acheteur, le montant du coupon couru depuis le dernier coupon versé (ou la date de jouissance) calculé à la date de règlement : ainsi, il n’est pas pénalisé de vendre l’OAT avant le prochain paiement ou « détachement » de son coupon. Un exemple concret  L’OAT 4 % 25 octobre 2014, avec la date de règlement du 30 mai 2005 • le nombre de jours écoulés depuis le dernier coupon (soit le 25 octobre 2004)est de 217 jours ; • le nombre de jours exact entre le précédent coupon et le prochain est de 365 jours ; • le coupon couru s’élève donc à : 4 % x (217/365) = 2,378 %

3. Qu’est-ce qu’une OAT ?  Les OAT (Obligations Assimilables du Trésor) sont des valeurs mobilières.  Elles constituent le mode de financement par emprunt à long terme de l’État. L’État doit recevoir chaque année l’autorisation d’emprunter par la loi de finances. Une OAT est toujours une obligation dont le principal est remboursé in fine, c’est-à-dire en un seul versement à la date d’échéance. Les OAT sont des titres assimilables*, émis pour une durée allant jusqu’à 50 ans.  En 2005, l’État a modernisé le marché secondaire* des OAT destiné aux particuliers pour leur permettre d’effectuer toutes transactions d’achat et de vente, chaque jour de Bourse, sur une large gamme d’OAT cotées sur Euronext : www.euronext.com. Des banques Spécialistes en Valeurs du Trésor (SVT) s’engagent à afficher en continu une fourchette de prix et à se porter contrepartie pour les ordres passés. Elles sont animatrices du marché et apporteuses de liquidité. Cette organisation permet d’offrir aux investisseurs qui achètent les OAT la liquidité qu’ils sont en droit d’attendre ainsi qu’une information régulière sur les prix. 

Exemple de calculs ( exercice du TD n0 1) Considérez une obligation de valeur nominale 5 000 Euros et de taux de coupon annuel 16.9 %. L’obligation était cotée 113.7 % le 4 juin 2003 sur le marché au comptant d’Euronext. L’obligation délivre des coupons tous les 8 mars 2001 jusqu’au 8 mars 2007. Quelle est la valeur boursière de l’obligation le 4 juin 2003  Car le coupon couru a pour valeur