Gestion de portefeuille Support n° 5 Catherine Bruneau Rendement espéré et risque d’un portefeuille, diversification

1) Sélection de portefeuille selon l’individu 2) rendement espéré et risque d’un portefeuille 3) Principe de diversification 4) Diversification efficace: efficience au sens de Markovitz

1) Processus de sélection: selon l’individu La sélection de portefeuille = le choix de la composition (actions plus ou moins risquées, obligations plus ou moins risquées) Il s’agit d’optimiser l’investissement La stratégie n’est pas unique: voir investissement dans l’immobilier, choix d’assurance – vie ou autre …qui dépendent de l’âge, de la situation de famille, du revenu, etc… et plus généralement de la position dans le cycle de vie de l’horizon de l’investissement de la tolérance au risque / goût ou aversion..

Remarque: rôle des gestionnaires de fonds professionnels Fonds mutuels de placement offerts par les banques, des sociétés d’investissement ou des compagnies d’assurance Un ménage s’adresse à ces gestionnaires pour déléguer la gestion de portefeuille, moyennant un coût de gestion; en contrepartie, il bénéficie de la connaissance du marché du gestionnaire, de ses possibilités d‘accès à différents marchés ( qui peuvent être coûteuses) des possibilités de diversification offertes au fond, etc…

2. rendement espéré et risque d’un portefeuille 2.1 le rendement espéré d’un portefeuille (ce que l’on appelle souvent - à tort- la rentabilité du portefeuille) Le rendement du portefeuille Rp est incertain comme celui des actifs qui le composent Si on considère le nombre de parts du titre i, ses prix de première et deuxième dates, le rendement du portefeuille est le rendement de la richesse investie et s’écrit: Soit: Ce qui donne directement l’expression du rendement espéré du portefeuille

2.2 le risque du portefeuille Il est mesuré par la variance de son rendement: Ce qui peut être écrit,de manière matricielle, sous la forme: Var(R) désignant la matrice nxn de variance -covariance du vecteur des rendements

Stratégie courante de composition d’un portefeuille L’optimisation est réalisée en deux temps: 1°) trouver la composition d’un portefeuille purement risqué ( constitué de titres risqués , actions et obligations, etc…) 2°) trouver la meilleure combinaison du portefeuille purement risqué précédent et du titre sans risque ( parts de richesse investies dans ces deux fonds)

1°) Qu’appelle-t-on titre sans risque? A priori ce n’est pas le même titre selon l’horizon considéré pour l’investissement, selon la monnaie de référence, …. De manière la plus absolue, le titre sans risque doit être le plus prévisible. On considère donc en général la maturité la plus courte pour une obligation du trésor (américain par exemple)

2°) Combinaison du titre sans risque et d’un portefeuille purement risqué Titre sans risque de rendement non aléatoire RF ( annuel) égal à 0.06 Titre risqué de rendement R1: rendement espéré de 0.14 et écart-type 0.20 Rendement RP portefeuille P de composition du (w,1-w) w 1-w rendement espéré volatilité 0.00, 1.00 0.06, 0 0.25, 0.75 0.08 0.05 0.50, 0.50 0.10 0.10 0.75, 0.25 0.12 0.15 1.00, 0.00 0.14 0.20

Niveau de rendement espéré visé On veut 0.11 de rendement espéré 0.11= 0.14w+(1-w)0.06 =0.06+(0.14-0.06)w =0.06+0.08w Soit w= 0.05/0.08=0.625 ( w=62,5%) L’écart-type correspondant est alors égal à: 0.625.0.20=0.125

3) Diversification 1) Cas de deux titres dont les rendements ne sont pas corrélés Titres associés à deux médicaments Titres 1 et 2 qui rapportent: 0 si le médicament associé n’est pas efficace 100 si le médicament associé est efficace L’investissement dans chacun des titres se fait au même coût. L’efficacité d’un médicament est indépendante de l’autre et pour chacun des médicaments, il est efficace avec une probabilité de 0.5 On constitue un portefeuille en répartissant la richesse de manière équitable entre les deux titres; soit X le rendement. On diminue l’écart-type et on laisse l’espérance inchangée

2) Cas d’un portefeuille équipondéré composé de n titres La variance du rendement du portefeuille est égale à:

a) si les rendements des titres ont même espérance et même variance et s’ils ne sont pas corrélés , on a: Et, conjointement On a donc le même rendement espéré (que celui obtenu avec un seul titre) mais un risque plus faible, qui tend même vers 0 si n devient très grand

b) Cas où les rendements sont corrélés On peut écrire: Lorsque n tend vers l’infini la variance du rendement du portefeuille tend vers la covariance moyenne qui est une mesure du risque commun ( partagé par tous les titres), ce que l’on appelle le risque non diversifiable: c’est-à-dire: « qui ne peut pas être éliminé par diversification »

d) Risque commun non diversifiable: asymptote pour la volatilité du rendement d’un portefeuille On tire au hasard un nombre croissant de titres dans un indice boursier ( exemple le CAC 440) et on calcule la volatilité ( écart-type) du rendement équipondéré constitué de ces titres: on observe toujours une réduction de la volatilité avec le nombre de titres mais cette la courbe de la volatilité a une asymptote qui correspond au niveau incompressible de risque (commun) non diversifiable,c’est-à-dire qui ne peut pas être éliminé par diversification

Risque commun non diversifiable: exemple Imaginons que les rendements des titres partagent un facteur de risque F ( risque de change, risque de taux etc…) ui caractérise le risque spécifique du titre i , non corrélé au facteur de risque commun F et non corrélé au risque spécifique de tout autre titre: ce qui est commun aux différents titre est résumé parF; le coefficient βi mesure le degré d’exposition du titre i au facteur de risque commun F; Alors on a: