GESTION DE PORTEFEUILLE chapitre n° 7 Risque diversifié et risque diversifiable Le MEDAF

Plan du chapitre Equilibre de marché (MEDAF) Conséquence: décomposition du rendement d’un titre Risque de marché et risque spécifique dans le MEDAF Risque de marché et risque spécifique dans un modèle factoriel Risque spécifique et risque diversifiable Valorisation d’un titre en l’absence d’opportunité d’arbitrage ( A.O.A)

Equilibre de marché I. Le MEDAF ( Modèle d’évaluation des actifs financiers) Le prix résulte d’un équilibre offre-demande Offre ( et demande ) concernent n titres risqués et un titre sans risque de rendements Ri, 1 ≤ i ≤ n et RF, Les agents j, 1≤j ≤ J, sont supposés choisir chacun un portefeuille efficient au sens de Markovitz

Choix des agents et caractérisation de la demande Chaque agent j, dispose d’une richesse initiale et a une aversion pour le risque caractérisé par où désigne le niveau de variance admissible pour l’individu (j) L’agent (j) partage sa richesse entre les deux fonds: le titre sans risque (part de richesse )et un portefeuille purement risqué, de composition: D’après la contrainte de budget, on a:

Equilibre offre globale=demande globale On agrège les demande(offres) individuelles pour les différents titres: Et on trouve ainsi le portefeuille agrégé de composition: caractérise ce que l’on appelle le portefeuille de marché ( purement risqué) ; en pratique un indice caractéristique d’un marché action: exemple CAC440

Efficience du portefeuille de marché La part purement risquée du portefeuille de marché est caractérisée par: ce qui montre que le portefeuille global est un portefeuille efficient au sens de Markovitz, celui que choisirait un agent fictif de richesse initiale égale à la somme des richesses individuelles et d’aversion au risque telle que:

Calcul de la performance de Sharpe du portefeuille de marché On trouve que la prime de risque du portefeuille de marché est égale à: Et sa volatilité: Et, par suite, sa performance de Sharpe: est égale à la performance de Sharpe de l’ensemble des titres échangés sur le marché

II. Risque de marché: décomposition des rendements des titres risqués On peut montrer que les rendements des titres risqués sont liés au rendement du marché, résumé par le rendement de la partie purement risquée du portefeuille de marché M, déduite de l’agrégation des demandes et égale à l’offre w(M) Plus précisément, on établit la relation appelée « relation bêta » (voir annexe):

Si on considère les régressions de Ri –RF sur RM –RF pour les différents titres i, en considérant les rendements nets ( excess returns) observés sur différentes dates t (passées) Par construction, le résidu n’est pas corrélé avec le régresseur Et donc Ce qui montre que Par suite, la relation bêta est vérifiée si et seulement si: En pratique, on vérifie la validité des relations bêta en testant la nullité de toutes les constantes

Risque commun (partagé) et risque spécifique On distingue, dans la régression précédente le risque diversifié – ou risque commun- porté par le rendement du portefeuille de marché, soit qui est, en pratique, le rendement de l’indice de tous les titres échangés sur le marché ( exempe CAC440) et le risque spécifique du titre i, résumé par la variable

III. Risque diversifié et risque diversifiable Le risque de marché est valorisé par la prime de risque du marché, qui contribue au prix des titres. Il correspond au risque dit diversifié et il est le seul risque rémunéré par le marché par opposition au risque diversifiable, , que l’on cherche à annuler par diversification, parce qu’il ne rapporte rien ( il ne contribue pas à la prime de risque des différents titres)

La valeur du titre i, c’est-à-dire la prime de risque se déduit, d’après la relation bêta , - du prix du risque de marché, soit: - du coefficient bêta qui mesure la part de risque de marché porté par le titre i

IV. Extension de l’analyse: modèles factoriels Dans la régression qui est déduite du MEDAF, il existe un seul facteur explicatif, qui est le rendement du marché. Quand on confronte ce modèle aux données, on trouve que le rendement de marché explique peu le rendement des titres (le de la régression est faible). C’est pourquoi des auteurs ont proposé d’étendre la régression précédente en introduisant d’autres facteur Ces facteurs peuvent être liés au risque de taux (d’intérêt), au risque de change, au risque de liquidité, au risque de conjoncture économique ( récession) etc…

Evaluation par arbitrage et relation multibeta On établit alors, sous des conditions de bon fonctionnement du marché ( absence d’opportunité d’arbitrage) que la prime de risque de chaque titre est lié à celle des facteurs selon une relation multi-bêta: Où les sont les primes de risques associés aux K facteurs (supposés orthogonalisés, c’est-à-dire sans covariance (corrélation) deux à deux ) et les sont les coefficients bêta du titre i avec les facteurs k:

Pourquoi le risque spécifique est-il diversifiable? Les variables caractérisent le risque spécifique de chaque titre i, par opposition au risque commun qu’ils partagent – c’est-à-dire le risque de marché dans le MEDAF ( ou autre sources de risque communes, risque taux, risque de change etc…- Elles sont supposées indépendantes (une fois enlevé le risque commun porté par le marché ( et, éventuellement, les autres sources de risque communes), et, de plus, elles sont centrées; Loi des grands nombres: si les sont i.i.d (indépendamment et identiquement distribuées, donc de même loi de probabilité), on a le résultat de convergence:

Risque commun/diversifié et risque spécifique/diversifiable Le risque diversifié (c’est-à-dire ce qu’il reste du risque lorsqu’on a éliminé, par diversification, le risque spécifique (qui est donc diversifiable)) correspond au niveau de corrélation incompressible des rendements des titres échangés sur le marché (cf. dans support de cours n°4, la valeur plancher introduite comme la covariance moyenne calculée pour n titres:

Annexe: Démonstration des relations beta Le rendement du portefeuille M est donné par ( en notant pour simplifier et en notant w=w (M) ) D’où:

Par ailleurs on a : D’où l’on déduit en reportant (ii) dans (iii): Finalement, les relations (i) et (iv) conduisent aux « relations bêta »

En effet, d’après les relations (i) et (iv) on a: