GESTION DE PORTEFEUILLE 3 Catherine Bruneau RISQUE & PROBABILITE

Rappels de calcul de probabilité Espace des issues aléatoires €Ω Exemple : ce qui fait monter ou descendre un cours d’action Évènements : parties de Ω Cours au-dessus d’un certain seuil Tribu d’évènements ( axiomes) A (Ω, A) espace probabilisable P: mesure de probabilité définie sur A

P à valeurs dans [0,1] Axiomes Exemple: P(hausse)=2/3 et P(baisse)=1/3 P(Ω)=1 Suite dénombrable d’évènements disjoints 2 à 2: (Ω, A,P) espace probabilisé Probabilité conditionnelle Indépendance d’événements

Variable aléatoire X définie sur (Ω, A,P) est donc un évènement: X à valeurs dans : un ensemble de valeurs fini ou dénombrable Alors on dit que X est une VARIABLE DISCRETE Exemple: X=1 si hausse =-1 si baisse d’un cours boursier un ensemble continu de valeurs réelles (dans R) On dit alors que X est une VARIABLE CONTINUE Log(cours boursier) suivi au centime près

Distribution des valeurs possibles de X: x=X()/distribution de probabilité (de ces valeurs) 1) Variable discrète:sa distribution est caractérisée par les probabilités des différentes valeurs xjqu’elle peut prendre: Exemple variable X de loi de Bernouilli B(p):elle peut prendre seulement deux valeurs 1 et 0 avec les probabilités respectives p et 1-p: P(X=1)=p (et P(X=0)=1-p ) Variable X de loi de Poisson P(): elle peut prendre les valeurs 0,1, 2,.., n,... etc… et Proba(X=n)=exp(- ) n /n! (où n! =nx(n-1)x(n-2)x…x2x1) Variable continue Densité: P(x≤X<x+dx)=f(x)dx Fonction de répartition P(X<x)=F(x); F’(x)=f(x) Exemples loi normale, log-normale, student, etc… Loi N(0,1) Loi N(m, 2) U suit une loi Log normale si et seulement si Log(U) suit une loi normale

VaR =Value at Risk au niveau α P(Perte>VaR)=α Moments Espérance ( moyenne) Variance: écart-type ( volatilité) Skewness Kurtosis (effet leptokurtique ( queue de distribution plus épaisse que celle de la loi normale): risques « extrêmes » plus probables Fractiles VaR =Value at Risk au niveau α P(Perte>VaR)=α

Cas de deux variables aléatoires X et Y exemple: valeur d’un taux d’intérêt ( taux de rendement d’une obligation ( du trésor ou autre) et valeur d’un cours boursier Loi jointe de X et Y Densité La connaissance de la loi jointe ( densité h(X,Y) ) est plus riche que la connaissance des seules lois marginales de X et de Y, de densités sauf dans le cas d’indépendance des deux variables, car, dans ce cas, Covariance et corrélation

Loi conditionnelle de Y sachant X Cas discret Cas continu: densité conditionnelle de Y sachant X La loi de probabilité du cours d’un indice, sachant que les taux d’intérêt sont élevés (respectivement bas exemple: Y et Y suivent deux lois normales N(0,1) et ont un coefficient de corrélation Cas d’indépendance Espérance conditionnelle E(Y/X) Variance conditionnelle

Cas de plusieurs variables Matrice de variance du vecteur U=(U1,….,Un)’ de composantes aléatoires Matrice de covariance entre deux vecteurs U=(U1,….,Un)’ et V=(V1,….,Vm)’ On a les propriétés suivantes où A’ désigne la matrice transposée de A c’est-à-dire la matrice obtenue à partir de A en transformant les lignes en colonnes; par exemple,

Calculs d’espérances

Exemple de calculs dans le cas discret X=1 avec la probabilité de 2/3 et =-1 avec la probabilité de 1/3 skewness (coefficient d’asymétrie)

Remarques: Rendement, taux de rendement et cours d’une action Cours d’une action P(t) à la date t Log cours : LogP(t) Variation ΔLogP(t)= LogP(t)- LogP(t-1) ΔLogP(t)=Log[P(t)/P(t-1)]=Log(rendement de l’investissement dans l’action) ΔLogP(t)=Log{1+[P(t)- P(t-1)]/P(t-1)} ΔLogP(t)= [P(t)- P(t-1)]/P(t-1) =taux de rendement de l’investissement=variation de richesse/richesse initiale investie si [P(t)- P(t-1)]/P(t-1) est petit devant 1 P(t)/P(t-1)=rendement=1+taux de rendement Question: si une grandeur X varie de 10% de combien varie le carré de cette grandeur?