Guillaume Boccas, Romain Farigoule Ecole des Mines de Nancy John von Neumann 1903-1957 La théorie du minimax Guillaume Boccas, Romain Farigoule Ecole des Mines de Nancy

Son œuvre en une diapositive: Mathématiques: Théorie des ensembles Mécanique quantique: Formulation mathématique unificatrice (équations de Schrödinger et matrices de Heisenberg) Armement nucléaire: Expert en explosifs Conseiller de l’US navy Membre du comité chargé de sélectionner les cibles pour la bombe atomique Economie: Initiateur des mathématiques appliquées à l’économie

Point de départ Dans un jeu, quelle stratégie adopter? « Tu sais que ce que tu peux espérer de mieux est d’éviter le pire » . Italo Calvino  On choisit la solution la plus avantageuse tout en prenant le moins de risques Parmi les stratégies les moins risquées, on choisit celle qui nous avantage le plus

Position du problème 1 contre 1 Simultané Chaque joueur dispose de plusieurs stratégies  Divers scénarii possibles Quelle stratégie est la plus avantageuse?

Vers un modèle mathématique Tableau des gains de Xavier Xavier joue sa « stratégie 1 » Xavier joue sa « stratégie 2» Xavier joue sa « stratégie 3 » Yvette joue sa « stratégie 1» -1000 2 2000 Yvette joue sa « stratégie 2 » 1010 -3000 Yvette joue sa « stratégie 3 » 1 … On voit apparaître une zone du tableau où réside un consensus entre les 2joueurs. Tous 2 ont intérêt à se tenir à leur stratégie  Représentation matricielle du tableau Toutes les stratégies ne sont pas équivalentes  Il existe un point scelle

Shi-Fu-Mi! Matrice de gain: Tableau récapitulatif des gains de Xavier Xavier joue « pierre » Xavier joue « feuille » Xavier joue « ciseaux » Yvette joue « pierre » 1 -1 Yvette joue « feuille » Yvette joue « ciseaux » On peut résumer les différents scénarii possibles dans un tableau… 0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0 Matrice de gain:

Théorème des minimax (1926) Une première formulation Il existe un point scelle si et seulement si : max (min ( aij , i ) , j ) = min ( max ( aij , j ) , i ) En 1926, Neumann ennonce le théo. Existence d’un point-scelle  Limiter les risques sur un tour

Mais sur une partie entière? Xavier joue sa « stratégie 1 » Xavier joue sa « stratégie 2» Xavier joue sa « stratégie 3 » Yvette joue sa « stratégie 1» -1000 2 2000 Yvette joue sa « stratégie 2 » 1010 -3000 Yvette joue sa « stratégie 3 » 1 tX = (2/7 , 4/7 , 1/7) tY= (1/7 , 3/7 , 3/7) Ici, une des stratégies que pourrait adopter Xavier est la suivante… Mais là encore, il existe une manière « rationnelle » de jouer. L’interet de cette notation est que…

Mise en forme mathématique A matrice des gains tX=(p1, …,pk) tY=(q1, …,qn) Gain moyen de Xavier: Gm = tY . A . X Gm = f (p1..,pk, q1,… qn)

Equilibre de Nash Existe un couple (X0 ,Y0) tel que : tY0.A.X0 < tY.A.X0 tY0.A.X < tY0.A.X0 Deuxième formulation du théorème: Condition d’équilibre de Nash max(min( tY.A.X , Y) , X) = min(max( tY.A.X , X) , Y) = tY0.A.X0

Conclusion Modèle qui a ses limites: Appréciation du risque? Théorie cardinale de l’utilité? Victoire et défaite totales en économie? Regard novateur sur les comportements économiques:  Travaux de John Forbes Nash