Introduction à l’automatisation -ELE3202- Cours #2: Rappel des transformées de Laplace & Systèmes linéaires et stationnaires Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Cours # 2 Bref rappel du cours #1: Systèmes en B.O. VS B.F. Lecture des schémas blocs Linéarisation des systèmes non-linéaires autour d’un point d’équilibre. La transformée unilatérale de Laplace La transformée inverse par fractions partielles Pôles réels et distincts Pôles complexes et distincts Pôles réels et multiples Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Cours #2 Fonctions de transfert Algèbre des diagrammes fonctionnels La réponse temporelle: D‘un système de premier ordre D‘un système de deuxième ordre Gain statique Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Retour sur le cours #1 (I) Systèmes en B.O. Aucune mesure n’est utilisée pour la régulation: le contrôleur ne « connait » pas la valeur actuelle de la sortie. Exemples de système en boucle ouverte: Sécheuse Système d’arrosage automatique Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Retour sur le cours #1 (II) Systèmes en B.F. C’est la technique d’automatisation la plus répandue. L’entrée du procédé dépend de la sortie: Généralement, le contrôleur commande le procédé en fonction de l’erreur entre un signal de référence (e.g.: une consigne) et la sortie actuelle. Exemples de système en boucle fermée: Régulateur de vitesse Four pour la cuisson Thermostat Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Lecture des schémas blocs (I) Nous avions vu (au tableau) que l’équation: Pouvait s’exprimer à l’aide du schéma bloc: u(t) a + - b Système Système en B.O. u(t) Système x(t) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Lecture des schémas blocs (II) Aujourd’hui, nous verrons comment « lire » des schémas blocs beaucoup plus compliqués: Surtout, nous apprendrons comment les simplifier… Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Linéarisation autour d’un point d’équilibre (I) Rappel : Un dernier exemple Soit « l » la longueur de la tige rigide et « M » la masse de l’objet à l’extrémité de la tige: On s’intéresse au couple « T » appliqué au pivot. L’équation dynamique de ce système s’obtient très facilement: Trouvons le système linéarisé autour du point θ=0: **Par rapport au modèle non-linéaire, le modèle linéarisé est précis à 5% près sur une étendue de ±30 degrés! Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Cours #2
Transformée unilatérale de Laplace (I) Le fait d’avoir appris à linéariser les systèmes non linéaires nous permet désormais d’utiliser un outil fantastique: la transformée (unilatérale) de Laplace. Cette transformée permet de résoudre beaucoup plus aisément les équations différentielles linéaires à coefficients constants, en ramenant la résolution des ces dernières à la résolution d’équations affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de « s »). Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Transformée unilatérale de Laplace (II) Domaine temporel → Domaine de Laplace La transformée unilatérale de Laplace: Conditions: 1)Il faut que la fonction f(t) soit définie sur l’intervalle [0, ∞[ 2)Il faut qu’il existe un α réel tel que l’intégrale ci-dessous converge : **Principe: Transformer l’équation différentielle d’intérêt dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à manipuler! Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Transformée unilatérale de Laplace (III) Domaine temporel → Domaine de Laplace Exemple: Soit une fonction f(t) tel que: Alors: Démonstration: **Généralement, nous utiliserons des tables au lieu de transformer « à la main » … Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Table de transformées de Laplace (I) Font références aux propriétés des transformées de Laplace (voir prochain transparent) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Propriétés des transformées de Laplace (I) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Théorème de la valeur initiale (I) Si f(0-) existe, alors: Démonstration au tableau.. Pour démontrer ce théorème, il faudra aussi démontrer la propriété #6 (dérivation) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Théorème de la valeur finale (I) Si la valeur finale existe et est définie , alors: Démonstration au tableau.. Pour démontrer ce théorème, on se servira encore de la démonstration de la propriété #6 (dérivation) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Transformée inverse de Laplace (I) Domaine de Laplace→ Domaine temporel La transformée inverse de Laplace dite « l’intégrale d’inversion » est définie par: Où: u(t) se nomme « Heaviside step function » ou en français : fonction d’Heaviside Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Transformée inverse de Laplace (II) Domaine de Laplace→ Domaine temporel Il serait un peu mal commode de devoir utiliser cette intégrale d’inversion: Il faudrait utiliser les notions d’intégration complexe… Non seulement l’intégrale est-elle complexe, ses bornes d’intégration le sont aussi. En pratique, nous effectuerons une expansion en fractions partielles pour ensuite utiliser des tables: beaucoup plus facile! Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Transformée inverse de Laplace (III) Expansion en fractions partielles Principe: Pour trouver la transformée de Laplace inverse d’une fonction compliquée, nous pouvons convertir la fonction en une somme de termes plus simples pour lesquelles nous connaissons les transformées inverses. En effet, l’expansion en fractions partielles permet de représenter la transformée de Laplace sous une forme beaucoup plus pratique lors de l’utilisation de la table de transformées: Il y a trois cas à distinguer lors de l’expansion: 1) Pôles réels et distincts, 2) Pôles complexes et distincts et 3)Pôles réels et multiples Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Expansion en fractions partielles(I) Cas #1: Les pôles sont réels et distincts Si les pôles sont réels et distincts, on peut représenter F(s) par: Ainsi, on peut prendre la transformée inverse de chacun des termes pour obtenir : Trouvez la transformée inverse de: Démonstration au tableau… Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Expansion en fractions partielles(II) Cas #2: Les pôles sont complexes et distincts Les pôles complexes résultent en des formes quadratiques au dénominateur. Ainsi, on décompose d’une manière un peu différente: Où: En ce qui a trait aux coefficients C2 et C3: On multiplie (I) par le plus petit commun dénominateur (Ex: ) On résout l’équation en regroupant les termes en « s », et par la suite par simple déduction… Exemple au tableau - Décomposons en F.P.: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Expansion en fractions partielles(III) Cas #3: Les pôles sont réels et multiples Si les pôles sont réels et un des pôles se répète k fois, on peut repréesenter F(s) par: Où pour les pôles simples, on a: Et pour les k pôles multiples , on a: Exemple au tableau - Décomposons en F.P.: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Expansion en fractions partielles(IV) Cas #4: Les pôles sont réels, complexes et multiples On ne traitera pas ce cas lors de ce cours, puisqu’en pratique ce sont des cas très très rares. Cependant, si certains d’entre vous sont curieux de savoir comment on effectue une décomposition en fractions partielles lors du cas le plus général où les pôles peuvent être réels, complexes, simples et multiples, vous pouvez vous référer à ce site web du département de mathématique de l’Université du Maryland: http://www.math.umbc.edu/~rouben/ParFracs/repeated-complex.html Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Fonctions de transfert (I) Les systèmes linéaires, stationnaires et continus (discrets) seront modélisés par des équations différentielles (récurrentes) linéaires à coefficients constants. S’inspirant de la résolution de ces équations par la méthode des transformées de Laplace (transformées en z), on représente les systèmes sous forme de fonction de transfert. Exemple d’un système masse-ressort avec friction: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Fonctions de transfert (II) La transformée de Laplace de ce système est: Considérons le cas particulier où: On peut alors ré-écrire (I) tel que: En résolvant pour Y(s): Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Fonctions de transfert (III) Si b/M=3, k/M=2 et y0 = 1, alors: La décomposition en fractions partielles donne: En utilisant la table des transformées, on trouve que dans le domaine temporel: Théorème de la valeur finale: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Fonctions de transfert (IV) Soit maintenant le même système avec les conditions initiales nulles: La fonction de transfert est alors donnée par: Supposons que l’entrée u(t) soit l’impulsion de Dirac, alors U(s)=1. Dans ce cas Y(s) est égal à la fonction de transfert G(s). La fonction de transfert est donc la transformée de Laplace de la réponse du système à une impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles. Y(s) R(s) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Fonctions de transfert (V) Définitions La réponse impulsionnelle d’un système est sa réponse à une entrée sous forme d’impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles. La fonction de transfert d’un système scalaire, linéaire et stationnaire, est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle. Le dénominateur de la fonction de transfert est dit le polynôme caractéristique du système, et l’ordre du système est le degré de ce polynôme. ** Comme nous l’avons vu dans le cas de notre exemple, lorsque le système est représenté sous forme d’une équation différentielle, on peut calculer sa fonction de transfert en prenant la transformée de Laplace avec conditions initiales nulles. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Algèbre des diagrammes fonctionnels (I) Diagramme fonctionnel d’une fonction de transfert: La représentation par des diagrammes fonctionnels permet de représenter la combinaison de systèmes par un ensemble de blocs interreliés: Des simplifications sont cependant possibles ! Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Algèbre des diagrammes fonctionnels (II) Règles de simplification 1) 2) 3) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Algèbre des diagrammes fonctionnels (III) Règles de simplification 4) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Algèbre des diagrammes fonctionnels (IV) Règles de simplification 5) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Algèbre des diagrammes fonctionnels (V) Simplification d’un diagramme En utilisant les règles que l’on vient de présenter, il est possible de simplifier le schéma de la figure suivante pour obtenir la fonction de transfert : Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Algèbre des diagrammes fonctionnels (VI) Simplification d’un diagramme On peut aussi écrire les équations pour la sortie de chacun des points de sommation ainsi que pour Y (s) et que l’on solutionne en fonction de Y (s) et U(s). Dans l’exemple précédent, on obtient : Que l’on peut solutionner pour obtenir le même résultat. U(s) Y(s) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Algèbre des diagrammes fonctionnels (VII) Règle de Mason La règle de Mason permet d’obtenir directement la solution des équations simultanées tirées du schéma bloc. La fonction de transfert est donnée par: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Algèbre des diagrammes fonctionnels (VIII) Règle de Mason Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (I) La réponse d’un système dynamique à une entrée quelconque est la sortie qui correspond à cette entrée. Pour calculer par simulation la réponse d’un système, on utilise normalement l’intégration numérique pour résoudre le modèle d’état (Matlab, Simulink). La fonction de transfert suggère deux autres façons de calculer la réponse. 1) Par la propriété de « convolution temporelle » de la transformée de Laplace, nous avons avec conditions initiales nulles: La sortie est donc la convolution de l’entrée avec la réponse impulsionnelle. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (II) Systèmes du premier ordre 2) Nous utiliserons toutefois l’inversion de la transformée de Laplace pour calculer la réponse y(t). Considérons cet exemple: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (III) Systèmes du premier ordre Transformons cette dernière équation dans le domaine de Laplace: La fonction de transfert est donc: Note importante: correspond à la forme standard d’une fonction de transfert d’un système du premier ordre. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (IV) Systèmes du premier ordre Position de l’unique pôle d’un système du premier ordre: … Sur l’axe des réels, peut par contre être situé dans le demi-plan gauche (partie réelle négative) ou dans le demi-plan droit (partie réelle positive). Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (V) Systèmes du premier ordre Étudions la réponse impulsionnelle d’un système de premier ordre: La réponse impulsionnelle est donc: τ est dite « constante de temps » du système: Lorsque t=1*τ, la sortie du système est à 63.2% de sa valeur finale. Lorsque t=4*τ, la sortie du système est à 98.17% de sa valeur finale. Lorsque t=5*τ, la sortie du système est à 99.33% de sa valeur finale. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (VI) Systèmes du premier ordre Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (VII) Systèmes du premier ordre Au lieu de l’impulsion de Dirac, considérons un échelon à l’entrée du système: Plus τ est petit, plus grande est la valeur absolue du pôle, et plus rapide est la réponse du système. La valeur finale de la sortie du système est K: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (VIII) Systèmes du premier ordre Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (IX) Systèmes du deuxième ordre En prenant l’exemple du lecteur de disque (notes de cours): Important: Forme standard d’un système de deuxième ordre: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (X) Systèmes du deuxième ordre À l’aide des paramètres (ω,ξ) de la forme standard (système normalisé) du système de deuxième ordre, il est possible de connaître une foule de caractéristiques du système à l’étude… « ω » se nomme fréquence naturelle du système « ξ » se nomme rapport d’amortissement (ou coefficient d’amortissement). Les pôles du système sont situés en: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (XI) Systèmes du deuxième ordre 1) Si : Système sur-amorti Les deux pôles seront réels, et nous aurons une décomposition en éléments simples de: La réponse du système sera alors la somme des réponses des deux systèmes de premier ordre. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (XII) Systèmes du deuxième ordre 2) Si : Système avec amortissement critique Les deux pôles seront réels, situés tous les deux à Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (XIII) Systèmes du deuxième ordre 3) Si : Système sous-amorti Les deux pôles seront complexes: La réponse impulsionnelle: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (XIV) Systèmes du deuxième ordre Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (XV) Systèmes du deuxième ordre Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Gain statique (I) Une fonction de transfert est dite asymptotiquement stable si tous ses pôles se trouvent dans le demi-plan gauche: Le gain statique d’une fonction de transfert stable G(s) est G(0). Par le théorème de la valeur finale le gain statique représente la valeur de la réponse indicielle en régime permanent : Le gain statique du système du premier ordre est donc K, alors que le gain statique du système normalisé du deuxième ordre égale 1. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Prochain cours Retour assez exhaustif sur le cours #2 Exercices (que vous n’avez pas dans les notes + exercices tirés des examens pour lesquels vous n’avez pas de solutionnaire) Réponse en fréquence Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Références Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop Control Systems Engineering – Norman S. Nise Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle Linear System Theory – Wilson J. Rugh Caractérisation et conception d’une commande robuste pour un système de type pendule inversé - Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011