Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types de raisonnements ? Qu'est-ce qu'un problème ouvert ? Un problème à tâches complexes ?

Les textes officiels L’acquisition du socle commun par tous les élèves est une obligation du service public d’éducation inscrite dans la loi : • « La scolarité obligatoire doit au moins garantir à chaque élève les moyens nécessaires à l’acquisition d’un socle commun constitué d’un ensemble de connaissances et de compétences qu’il est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité, poursuivre sa formation, construire son avenir personnel et professionnel et réussir sa vie en société »[1] . • [1] Loi d’orientation et de programme pour l’avenir de l’École, n°2005-380 du 23 avril 2005, article 9.

Objectifs de la formation en mathématiques ? Permettre aux élèves d’acquérir les mathématiques nécessaires à une poursuite d’études (autrement dit, le programme), objectif qui doit rester l’ambition pour tous. Donner à tous la culture mathématique nécessaire au citoyen (autrement dit, permettre aux élèves d’acquérir les connaissances et compétences du socle commun), objectif que l’on peut qualifier de nécessaire pour tous.

Les priorités en terme de formation Incontestablement, la maîtrise du calcul réfléchi inséparable du sens des nombres et des opérations. L’acquisition d’automatismes qui favorisent l’autonomie et l’initiative des élèves dans la résolution de problèmes et les mettent en confiance. La mise en place permanente de l’activité de raisonnement qui est l’essence même des mathématiques.

Raisonner et démontrer La démonstration en mathématiques est-elle un raisonnement déductif ? Quels sont les types de raisonnements que l’on peut rencontrer chez les élèves ?

Le raisonnement Deux définitions : Activité de l’esprit qui passe, selon des principes déterminés, d’un jugement à un autre, pour aboutir à une conclusion. ( Le Robert) Un raisonnement, c'est d'abord une certaine activité de l'esprit, une opération discursive par laquelle on passe de certaines propositions posées comme prémisses à une proposition nouvelle, en vertu du lien logique qui l'attache aux premières : en ce sens, c'est un processus qui se déroule dans la conscience d'un sujet selon l'ordre du temps.(Universalis 2009)

Une typologie du raisonnement Le raisonnement déductif (déduction) Le raisonnement inductif (induction) Le raisonnement abductif (abduction, présomption) Le raisonnement transductif. Autres raisonnements rencontrés en mathématiques: Contraposée, contre-exemple, disjonction de cas, par l’absurde, analogie, (déclinaisons ou combinaisons disciplinaires de ces raisonnements basiques), par récurrence.

Le raisonnement transductif La transduction est le raisonnement de l’enfant . Toutes les opérations mentales restent au même niveau. Il n’y a pas de généralisation, c’est la mise en relation de deux faits du même ordre. En mathématiques : Comparaison de données numériques, de figures, de graphiques…

Le raisonnement déductif La déduction est un raisonnement qui consiste à tirer à partir d’une ou de plusieurs propositions, une autre qui en est la conséquence nécessaire. En mathématiques : à partir de propriétés reconnues comme vraies, par enchaînement logique, on déduit une propriété

Le raisonnement inductif L’induction est un type de raisonnement qui consiste à généraliser des cas particuliers. D’un phénomène observé de manière répétitive, on va induire une loi générale, sans vérifier tous les exemples. L’induction extrait l’universel du particulier. En mathématiques : l’induction est utilisée quand il s’agit de faire émerger une conjecture après avoir traité des exemples. L’utilisation des logiciels de géométrie dynamique est sous tendue par cette approche. L’approche fréquentielle de la notion de probabilité l’illustre également

Dans le domaine des sciences expérimentales, le raisonnement par induction se suffit à lui-même. En mathématiques, le raisonnement inductif ne se conçoit, en général, que comme une première étape, conduisant à une conjecture. Alors que le raisonnement déductif fonctionne selon le schéma classique : « Sachant que (A est vraie) et que (A implique B), je déduis que (B est vraie) », le raisonnement inductif fonctionne selon le schéma présomptif : « Constatant que dans les exemples où (A est vraie), alors (B est vraie), je présume que (A implique B) est vraie » ou le schéma explicatif : Sachant (que A implique B) est vraie, j’explique que (B est vraie) en présumant que (A est vraie)

Articulation Déductif/ Inductif

Le raisonnement abductif Afin de comprendre un phénomène surprenant, on introduit une règle à titre d'hypothèse afin de considérer ce phénomène comme un cas conforme à cette règle. En d’autres termes : dans le cas d’une déduction on tire la conclusion « q » d’une prémisse « p » alors que le raisonnement abductif consiste à expliquer « q » par « p », considéré ici comme une hypothèse explicative. Umberto Eco a appelé ce procédé la « méthode du détective ».

L'abduction, c'est la suggestion d'une idée, où on tente une interprétation immédiate et sensible du phénomène. Cette approche signifie que « quelque chose » se comporte probablement d'une certaine manière – phase d'abduction – que « quelque chose » se comporte effectivement d'une certaine manière – phase d'induction et enfin – phase de déduction – nous établissons que « quelque chose » se comporte d'une certaine manière.

l'abduction produit des idées et des concepts à expliquer l'induction participe à la construction de l'hypothèse abductive en lui donnant de la consistance la déduction formule une explication prédictive.

La démarche d'investigation Dans la recherche d’une démonstration, visant à répondre à une question ou à résoudre un problème ouvert , les trois types de raisonnements interviennent :

Des réponses : La démonstration en mathématiques est-elle un raisonnement déductif ? Non, pas seulement Quels sont les types de raisonnements que l’on peut rencontrer chez les élèves ? Les élèves peuvent et doivent utiliser plusieurs types de raisonnements selon les activités proposées. La mise en œuvre dépend du cadre d’utilisation et du type d’énoncés proposés

Quels travaux proposés pour développer ces raisonnements ? La pratique des questions ouvertes est propice à l’apprentissage et à l’évaluation à l’oral des compétences liées au raisonnement.

Ouvrir les problèmes Favoriser l’engagement des élèves dans la résolution et permettre la mise en activité de chacun Laisser vivre différentes stratégies de résolution Développer la prise d’initiative Ne pas s’abstenir de confronter les élèves à des tâches complexes

Favoriser la démarche d'investigation Chaque fois qu’une question est posée et que la réponse ne peut être donnée immédiatement à partir de connaissances disponibles Déroulement: 1) Réflexion sur le problème posé - appropriation du problème, vocabulaire, contexte - confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de « connaître son cours »), - recherche éventuelle d’informations sur le thème. 2) Élaboration d’une conjecture - recherche, avec mise en place éventuelle d’une première expérimentation, - émission de la conjecture, - confirmation, avec mise en place éventuelle d’une seconde expérimentation. 3) Mise en place d’une preuve argumentée.

Les caractéristiques du problème ouvert L’énoncé permet l’entrée de tous les élèves dans l’activité L’énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires). La solution ne se réduit pas à l’utilisation ou l’application immédiate des résultats présentés en cours. Le champ conceptuel est familier aux élèves.

La pratique régulière du problème ouvert Consolide les connaissances des élèves pour franchir un nouvel obstacle (Philippe Meirieu). Révèle les connaissances disponibles. Rend des connaissances maîtrisables disponibles.

Les situations complexes X. ROEGIERS distingue les situations compliquées des situations complexes : Une tâche est compliquée si elle mobilise des savoirs et des savoir-faire nouveaux. Une tâche est complexe si elle combine des éléments que l’élève connait, qu’il maîtrise, qu’il a déjà utilisés plusieurs fois mais de façon séparée, dans un autre ordre ou dans un autre contexte.

Les caractéristiques d'une situation complexe Elle est significative pour l’élève. Elle nécessite plusieurs démarches. Elle met en œuvre plusieurs notions. Elle donne une large part à la créativité. Elle permet à l’élève de justifier ses choix. Elle ne donne aucune indication pour la résolution. Elle est adaptée au niveau de difficulté souhaité.