Etudes statistiques

Sommaire Introduction Résultats de la 1ère enquête Résultats de la 2ème enquête 1) Effectif total 2) Pourcentage 3) Tableau 4) Diagramme en bâtons Résultats de 3ème enquête a) Tableau b) Questions c) Histogramme

Sommaire Résumé Vocabulaire et tableaux statistiques I. Vocabulaire statistique 1. Population 2. Caractère 3. Classe 4.-5 Effectif ; Effectif total 6. Fréquence 7. Effectifs cumulés; fréquences cumulées Résumé

Sommaire Exercices Exemples 1. 2. 3. Tableaux statistiques T1 T2 T3 II. Représentations graphiques 1. Bâtons 2. Diagramme circulaire 3. Histogrammes Mêmes amplitudes Amplitudes inégales 4. Polygones des EC 5. Polygones des FC Exercices

Ex1 Ex2 Ex3 Ex4 Ex5

Les femmes du 3e millénaire soignent leur look Introduction: Les femmes du 3e millénaire soignent leur look

Résultats de la 1re enquête

Formes juridiques des instituts Calcul du nombre d’instituts indépendants : 12 000 × 0,70 = 8 4OO Total Divers Franchises Parfumeries Instituts indépendants Nombre (effectifs) Pourcentages (fréquences) Formes juridiques des instituts 70 23 6 1 100 12 000 8 400 2 760 720 120

Résultats de la 2e enquête

Nombre de soins annuels 1) Effectif total Nombre de soins annuels Effectifs 3 40 6 65 12 100 15 50 18 25 280 Total

2) Pourcentages: Pourcentage du 1er effectif ou fréquence f1 : 3) Tableau 14,29 23,21 35,71 17,86 8,93 100

4) Résultats de la 2e enquête sous forme de diagramme

Résultats de la 3e enquête

a) Nombre de clientes dépensant moins de 45 € 50 + 40 + 30 = 120 Total [ 60 ; 75 [ [ 45 ; 60 [ [ 30 ; 45 [ [ 15 ; 30 [ [ 0 ; 15 [ Effectifs Dépenses 50 + 40 + 30 = 120 30 40 50 Il y a 120 personnes qui dépensent moins de 45 €. 25 15 160

b) Nombre de clientes dépensant au moins 45 € 25 + 15 = 40 Total [ 60 ; 75 [ [ 45 ; 60 [ [ 30 ; 45 [ [ 15 ; 30 [ [ 0 ; 15 [ Effectifs Dépenses 25 + 15 = 40 30 40 50 Il y a 40 personnes qui dépensent au moins 45 €. 25 15 160

c) Histogramme des effectifs.

Vocabulaire et tableaux statistiques

I. VOCABULAIRE

1. Population ·     population: ensemble des individus sur lequel porte l’étude statistique. (exemple : une classe d’élèves de TH ) ·        Chaque élément de la population étudiée est nommé unité statistique ou individu. (exemple : un élève de la classe) ·        Le nombre total représentant l’ensemble des individus (ou des unités statistiques) forme l’effectif de la population. (exemple : il y a 30 élèves dans votre classe)

2. Caractère(variable)       Le caractère ou variable statistique d’une population est la propriété sur laquelle porte l’étude statistique. (exemples : nombre d’enfants par famille, tailles des élèves)         Le caractère peut-être :      quantitatif, s’il est mesurable. (exemples : nombre d’enfants, nombre de cigarettes fumées)    qualitatif, s’il est non mesurable(exemples : musique, diplômes, marques)

·  Un caractère est discret lorsqu’il prend seulement un nombre fini de valeurs qui sont en général des nombres entiers. (exemple : nombre d’enfants par famille) ·   Un caractère est continu lorsqu’il peut prendre toutes les valeurs, à l’intérieur d’un intervalle. Exemple : Temps consacré chaque semaine par les 620 élèves d’un lycée à regarder la télévision :

Tableau 1 Durée h(xi) [0 ; 4[ [4 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 20[ [20 ; 28[ [0 ; 4[ [4 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 20[ [20 ; 28[ Total Effectif (ni) 40 80 160 200 140 620

3.    Classe : Les valeurs d’un caractère continu sont rangées par classe sous la forme d’un intervalle [a ; b[. ·        L’amplitude de la classe [a ; b[ est la différence des deux bornes b – a ·        Centre d’une classe : C’est la demi-somme des extrêmes d’une classe. Le centre est donné, pour une classe [a ; b[ par exemple, par la relation :

Exemple : Dans le tableau 1, la durée en heures varie de 0 à 28 h, elle est répartie en 5 classes : [0 ; 4[ [4 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 20[ [20 ; 28[ ·        L’amplitude de la classe [0 ; 4[ est 4 ·        Le centre de la classe [0 ; 4[ est ·  L’amplitude de la classe [20 ; 28[ est 28 – 20 = 8 ·  Le centre de la classe [20 ; 28[ est

4. Effectif : 5. Effectif total : C’est le nombre d’observations ou d’individus correspondant à chaque valeur xi du caractère ; il se note ni. 5.      Effectif total : C’est la somme de tous les effectifs ; On note : N = n1 + n2 + n3 + … =

· La fréquence s’exprime sous la forme d’un nombre décimal : fi = ·        La fréquence d’une valeur xi (ou d’une classe) est obtenue en divisant l’effectif ni de cette valeur (ou de cette classe)par l’effectif total N et notée fi. · La fréquence s’exprime sous la forme d’un nombre décimal : fi = · ou d’un pourcentage : ·    La somme des fréquences est égale à 1 ou 100 %.

7.  Effectifs cumulés ou fréquences cumulées : ·  L’effectif cumulé croissant (ECC) de la valeur de rang i (ou de la classe de rang i) est la somme de tous les effectifs depuis le premier jusqu’au rang i (de même, on définit la fréquence cumulée croissante FCC). ·  L’effectif cumulé décroissant (ECD) de la valeur de rang i (ou de la classe de rang i) est la somme de tous les effectifs à partir de la dernière valeur jusqu’au rang i (de même, on définit la fréquence cumulée décroissante FCD).

EN RESUME

  Exemples :

Exemple 1 : On se propose de faire l’étude statistique du nombre d’enfants par famille dans une classe de 30 élèves de BEP. A la question «combien d’enfants êtes-vous dans votre famille ? », on obtient les réponses suivantes : 3-2-3-1-5-3-2-1-4-1-2-4-3-5-2-2-1-2-1-3-1-1-2-4-3-6-1-3-4-2

1.     Quelle est la population étudiée ? la classe de BEP. 2.      Quel est l’effectif de la population ? celui de la classe : 30 élèves. 3.     Quel est le caractère étudié (variable) ? le nombre d’enfants par famille. 4.      Le caractère étudié peut-il être mesurable (compter avec un nombre) ? Oui, le caractère est dit quantitatif.

5.      Si oui, prend-il des valeurs isolées (pas plusieurs valeurs en même temps) ? Oui, le caractère est dit discret.

Exemple 2 : On s’intéresse maintenant à la taille des 30 élèves de cette classe de BEP. En interrogeant un à un les élèves, on obtient les résultats arrondis suivants : 164-158-180-175-188-169-178-172-163-177-186-182-170-172-168-175-184-171-169-180-173-175-184-187-159-174-179-169-181-178

a.     Quelle est la population étudiée ? la classe de BEP. b. Quel est l’effectif de la population ? celui de la classe : 30 élèves. c. Quel est le caractère étudié? La taille des élèves. d. Le caractère peut-il être mesurable? Ce caractère est mesurable et peut prendre plusieurs valeurs. C’est caractère quantitatif continu.

Exemple 3 : La répartition des élèves entrant en classes de seconde BEP et de CAP dans un LP est la suivante : 28 en Métiers du Secrétariat ; 59 en Métiers de la Comptabilité ; 62 en Vente Action Marchande ; 69 en Hôtellerie ; 12 en CAP

a.    Quelle est la population étudiée ?  Les élèves entrant en 2de BEP et CAP  b.    Quel est l’effectif de la population ?  230 c.     Quel est le caractère étudié (variable) ?  Diplôme préparé d.    Le caractère étudié peut-il être mesurable (compter avec un nombre) ? Caractère non mesurable. Il est dit qualitatif.

Tableaux statistiques

Tableau n°1 :

Nombre de Nombre familles d’enfants par Fréquence(%) x ×n i i famille (x ) (n ) i i 8 26,67 8 1 8 26,67 16 2 7 23,33 21 3 4 13,33 16 4 2 6,67 10 5 1 3,33 6 6 TOTAL 30 100,00 77

Tableau n°2 :

Nombre Centre de f (%) d’élèves la classe i Tailles xi×ni FCC FCD ECC ECD (ni) xi = -2 (10 ) [155; 160[ 2 157,5 315 6,67 6,67 100,00 2 30 [160; 165[ 2 162,5 325 6,67 13,33 93,33 4 28 [165; 170[ 4 167,5 670 13,33 26,67 86,67 8 26 [170; 175[ 6 172,5 1035 20,00 46,67 73,33 14 22 [175; 180[ 7 177,5 1242,5 23,33 70,00 53,33 21 16 [180; 185[ 6 182,5 1095 20,00 90,00 30,00 27 9 [185; 190[ 3 187,5 562,5 10,00 100,00 10,00 30 3 TOTAL 30 5245 100

Tableau n°3:

Diplôme préparé Nombre d’élèves Fréquence(%) Secrétariat 28 12,17 Comptabilité 59 25,65 V.A.M. 62 26,96 Hôtellerie 69 30 C.A.P. 12 5,22 TOTAL N = 230 100

II. Représentations graphiques d’une série statistique

1. Diagramme en bâtons

·        On utilise généralement ce diagramme dans le cas : -  d’un caractère qualitatif -  ou d’un caractère quantitatif discret dont les valeurs ne sont pas trop nombreuses. Dans un diagramme en bâtons représentant des effectifs (ou des fréquences) : ·  Les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences).

Exemple : Construire le diagramme en bâtons du tableau ci-dessous Pour cela:

a.     Dans un repère orthogonal, placer sur l’axe des abscisses le nombre d’enfants xi et sur l’axe des ordonnées le nombre de familles ni. b.    Tracer des traits verticaux au niveau de chaque nombre xi. c.     La longueur de chaque trait doit être proportionnelle au nombre de familles ni correspondant au nombre d’enfants xi.

Tableau

2. Diagramme circulaire

·   Ce type de diagramme est généralement utilisé dans le cas d’un caractère qualitatif. ·  Un tel diagramme est un disque (ou la moitié d’un disque) découpé en secteurs angulaires dont la mesure des angles au centre est proportionnelle aux effectifs ( ou aux fréquences).

Exemple : Recopier le tableau suivant représentant les types de musique préférée des 620 élèves d’un lycée : Type de musique Rock Rap/Raï Techno Variété française Variété étrangère Autres Total Effectif ni 180 120 80 40 620 Angle en ° à l’unité 105 360 70 46 70 46 23

a.   La mesure de l’angle correspond à l’effectif ni est donnée par la formule : b.  Construire un disque de rayon 5 cm c. Porter sur ce disque la valeur de l’angle correspondant à chacun des effectifs du tableau.

Tableau

105 70 46 70 46 23 180 120 80 40 620 360 Type de musique Rock Rap/Raï Techno Variété française Variété étrangère Autres Total Effectif ni 180 120 80 40 620 Angle en ° 105 360 70 46 70 46 23

Diagramme circulaire

3. Histogramme

·       On utilise un histogramme quand les valeurs sont regroupées par classes. ·       Un histogramme est constitué de rectangles ayant pour base l’amplitude des classes et dont les aires sont proportionnelles aux effectifs ( ou aux fréquences). ·       Deux cas se présentent : o     Si les classes ont même amplitude, tous les rectangles ont la même base, leurs hauteurs sont proportionnelles aux effectifs ( ou aux fréquences). o     Si les classes n’ont pas la même amplitude, la hauteur d’un rectangle est déterminée en prenant en compte la largeur de l’amplitude de la classe donnée.

Exemple: Construire l’histogramme du tableau statistique du manuel de maths page 60 Pour cela: a.      Porter en abscisses les les prix des calculatrices de 40 à 50(commencer la graduation à 40). b.     Porter en ordonnées les effectifs. c.     Construire l’histogramme correspondant à la série statistique.

2 Tableau

4. Histogramme: amplitudes inégales

Tableau Montant (€) [0 ; 4[ [4 ; 6[ [6 ; 8[ [8 ; 10[ [10 ; 12[ [0 ; 4[ [4 ; 6[ [6 ; 8[ [8 ; 10[ [10 ; 12[ [12 ; 16[ [16 ; 20[ Effectif 14 20 44 50 32 28 12 Amplitude 4 2 Base du rectangle 2 carreaux 1 carreau 1 Hauteur du rectangle 14 ÷ 2 = 7 6

4. Polygones des effectifs cumulés

a. Tracer la courbe des ECC(dans le repère donné). Construire les polygones des effectifs cumulés croissants(ECC) et décroissants(ECD) du tableau de la page 60. Pour cela: a.   Tracer la courbe des ECC(dans le repère donné). ·   L’abscisse est la limite supérieure de la classe (x = 42) ·   et l’ordonnée est l’effectif cumulé de la classe(y = 8). b.  Tracer la courbe des ECD(dans le même repère que les ECC). ·   L’abscisse est la limite inférieure de la classe (x = 40) ·   et l’ordonnée est l’effectif cumulé de la classe (x = 50). c.      Tracer la droite horizontale passant par l’intersection des deux courbes ECC et ECD. Si le graphique est juste, cette droite horizontale vous donnera sur l’axe des ordonnées la valeur de (la moitié de l’effectif total ).

Remarque : ·        La même chose est réalisable avec les fréquences (FCC, FCD).

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6. Polygones des fréquences cumulées

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Exercices BEP-Tertiaire G Exercices BEP-Tertiaire G. Bringuier - Hachette Technique - édition n°01

Nombre d'hôtels en pourcentage Exercice 1 p66 Catégorie Nombre d'hôtels en pourcentage Nombre d'hôtels * NN 42,5 * * NN 26 ***NN 23,5 ****NN 6,5 *****NN luxe 1,5 676 611 169 39 1. Quel est la nature de la variable? 2. Nombre d’hôtels Le caractère est qualitatif (voir tableau)

3. Le 250e accident a eu lieu entre 15 h et 18 h. Exercice 2 p66 1. et 2.   Classes Effectifs Fréquences (à 10-2) (en %) Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants [0;6[ 44 [6;9[ 50 [9;12[ 67 [12;15[ 77 [15;18[ 93 [18;21[ 97 [21;24[ 72 N = 500 1   Classes Effectifs Fréquences (à 10-2) (en %) Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants [0;6[ 44 0,09 8,80 500 [6;9[ 50 0,10 10,00 94 456 [9;12[ 67 0,13 13,40 161 406 [12;15[ 77 0,15 15,40 238 339 [15;18[ 93 0,19 18,60 331 262 [18;21[ 97 19,40 428 169 [21;24[ 72 0,14 14,40 N = 500 1 100   Classes Effectifs Fréquences (à 10-2) (en %) Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants [0;6[ 44 0,09 8,80 [6;9[ 50 0,10 10,00 94 [9;12[ 67 0,13 13,40 161 [12;15[ 77 0,15 15,40 238 [15;18[ 93 0,19 18,60 331 [18;21[ 97 19,40 428 [21;24[ 72 0,14 14,40 500 N = 500 1 100   Classes Effectifs Fréquences (à 10-2) (en %) Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants [0;6[ 44 0,09 8,80 [6;9[ 50 0,10 10,00 [9;12[ 67 0,13 13,40 [12;15[ 77 0,15 15,40 [15;18[ 93 0,19 18,60 [18;21[ 97 19,40 [21;24[ 72 0,14 14,40 N = 500 1 100 3. Le 250e accident a eu lieu entre 15 h et 18 h.

Exercice 3 p66 Sinistres Fréquences(en %) Nombre de sinistres Dépenses (×109 de francs) Tous risques 36 2 682 000 24,588 Resp. CM 25 1 862 500 17,075 Resp. C et Dom Corpo. 24 1 788 000 16,392 Vol 10 745 000 6,83 Bris de glace 5 37 250 0,3415 Total 100 7 450 000 68,3 milliards Sinistres Fréquences(en %) Nombre de sinistres Dépenses (×109 de francs) Tous risques 36 2 682 000 Resp. CM 25 1 862 500 Resp. C et Dom Corpo. 24 1 788 000 Vol 10 745 000 Bris de glace 5 37 250 Total 100 7 450 000 68,3 milliards Sinistres Fréquences(en %) Nombre de sinistres Dépenses (×109 de francs) Tous risques 36 Resp. CM 25 Resp. C et Dom Corpo. 24 Vol 10 Bris de glace 5 Total 100 7 450 000 68,3 milliards Sinistres Fréquences(en %) Nombre de sinistres Dépenses (×109 de francs) Tous risques 36 Resp. CM 25 Resp. C et Dom Corpo. Vol 10 Bris de glace 5 Total 7 450 000 68,3 milliards

1. Le pourcentage du poste responsabilité 100 – (25 + 36 + 10 + 5) = 24 = 2 682 000 = 24,588 1.   Le pourcentage du poste responsabilité civile-dom. Corpo. est   24 % 2.   Le remboursement pour le Bris de glace est  341,5 millions de francs.

68,3×109 = 7,45 ×106 3. Le montant moyen est: = 9 167,80 francs. Exercice 4 p67 1.     CA fourrure: 52 500 ×54 = 28 350 € 100

2. Diagramme semi-circulaire : a.      Tableau : Rayon Pourcentage du CA Angle en degré Rayon fourrure 54 194 Rayon maroquinerie 22 79 Rayon lingerie 15 Rayon parfumerie 9 32 Total 100 360 ° Rayon Pourcentage du CA Angle en degré Rayon fourrure 54 Rayon maroquinerie 22 Rayon lingerie 15 Rayon parfumerie 9 Total 100 360 °

b. diagramme Rayon Maroquinerie Rayon fourrure Rayon Lingerie Rayon parfumerie

Exercice 5 p67 1. a) Tableau Catégorie de déchets Pourcentage Mesure de l’angle en degrés Agricoles 50 180 Industriels 25 90 Ménagers 18 64,8 D'activités 7 25,2 Total 100 360° Catégorie de déchets Pourcentage Mesure de l’angle en degrés Agricoles 50 Industriels 25 Ménagers 18 D'activités 7 Total 360° Catégorie de déchets Pourcentage Mesure de l’angle en degrés Agricoles 50 Industriels 25 Ménagers 18 D'activités 7 Total 100 360°

1. b)

2. Masse totale : = 150 millions de tonnes 3. Masse emballages : = 141,6 kg par an par habitant 4. Augmentation en masse : 472 – 272 = 200 kg

Augmentation en pourcentage :