Etudes statistiques à une variable

Sommaire Paramètres d’une série statistique I. Paramètres de position Le mode statistique Tableau 1 1) Caractère discret Tableau 2 2) Caractère continu Tableau 3 3) Caractère qualitatif La moyenne statistique Exemple 1 Exemple 2 Exercices Ex3p82 Ex4p83 Ex5p83

Sommaire La médiane statistique Détermination a. Caractère discret b. Caractère continu Exemple Remarque Activité p45-46 1. Tableau 2. 3. 4. Ex 6 p54 Tableau 1 Tableau 2 Polygones des Ec Polygones des Fc

Sommaire II. Paramètres de dispersion La variance L’écart type Exemple p45 Ex6 p54 Exemples 1. Moyenne et écart type Tableau 1 Paramètres du tableau 1 Tableau 2 Paramètres du tableau 2 2. Comparaison des 2 séries statistiques Exercice d’application Tableau Paramètres de la série

Sommaire Exercice d’entraînement Tableau Moyenne et écart type Polygone

Paramètres d’une série statistique à une variable

I. Paramètres de position Ils sont au nombre de trois: a.    Le mode d’une série statistique b.    La moyenne : c.    La médiane

a. Le mode d’une série statistique Le mode est la valeur (le nombre) du caractère correspondante au plus grand effectif ou à la plus grande fréquence

1)   Dans le cas d’un caractère quantitatif discret : Dans le cas d’un caractère discret, on parle du mode de la série. ·        Quel est le mode du Tableau 1 ? Le mode de cette série est 2. ·        Quel est l’effectif correspondant ? L’effectif correspondant à ce mode est 9. C’est le plus grand.

Nombre d’enfants par famille (xi) Tableau 1: caractère quantitatif discret Nombre d’enfants par famille (xi) Nombre de familles (ni) 1 8 2 9 3 6 4 5 TOTAL N = 30

2)     Dans le cas d’un caractère quantitatif continu On appelle classe modale la classe(intervalle) correspondant au plus grand effectif. ·    Quelle est la classe modale du Tableau 2 ? La classe modale est [175 ; 180[ ·        Quel est l’effectif correspondant ? L’effectif correspondant est 7

Tableau 2: caractère quantitatif continu   Classes Effectifs ni Centre des classes xi [155;160[ 2 157,5 [160;165[ 162,5 [165;170[ 4 167,5 [170;175[ 6 172,5 [175;180[ 7 177,5 [180;185[ 182,5 [185;190[ 3 187,5 N =30

3)     Cas d’un caractère qualitatif ·  Dans le cas de caractère qualitatif, on dit modalité au lieu de mode. ·        Quelle est la modalité  Tableau 3 ? La modalité est l’hôtellerie ·        Quel est l’effectif correspondant ? L’effectif correspondant est 69

Tableau 3: caractère qualitatif Diplôme préparé Nombre d’élèves Secrétariat 28 Comptabilité 59 V.A.M. 62 Hôtellerie 69 C.A.P. 12 TOTAL N = 230

b. La moyenne statistique : C’est le quotient de la somme des produits ni × xi par leur nombre (effectif total N ) xi : valeurs du caractère ou centres de classe, ni : effectif de xi, N : effectif total.

Exemples

Nombre de familles(ni) Exemple 1 : Caractère discret a.     Compléter la dernière colonne du tableau suivant Nombre d’enfants par famille(xi) Nombre de familles(ni) Produits(ni xi) 1 8 2 9 3 6 4 5 Total 29 1×8 = 8 2×9 = 18 3×6 = 18 4×3 = 12 5×2 = 10 6×1 = 6 72

b. Quelle est la réponse la plus fréquente ? La réponse la plus fréquente est 2 c.    Quel est le mode de cette série ? Le mode de la série est donc 2. L’effectif correspondant est 9. d.    Calcul de la moyenne

Exemple 2 : Caractère quantitatif continu Exercice 2 p 82 1. Tableau 2. Pourcentage d’employés ayant moins de 30 ans 7,83 + 17,46 + 21,57 = 46,86

Pourcentage d’employés ayant au moins 40 ans 10,43 + 8,73 + 5,12 = 24,28 Pourcentage d’employés ayant entre 25 et 45 ans 21,57 + 16,65 + 12,21 + 10,43 = 60,86 3. Calcul de l’âge moyen 2 446 838 = 32,73 ans 74 750

4. Histogramme des fréquences

Exercice 3 page 82 1. Nombre total d’internautes: 230 = 460 × 100 50 2. Tableau 3. Internautes de moins de 30 ans: 230 + 92 = 322 4. Âge moyen:

3. Note moyenne des élèves Exercice 4 p83 1. Nombre d’élèves: 95 2. Nombre d’élève qui ont la moyenne 15+15+10+5+4+3+2+1 = 55 3. Note moyenne des élèves Nombre l’ayant atteinte ou dépassée 55

Exercice 5 p 83 1. Nombre de jours(voir tableau): 280

3. Montant moyen

Exemple 2 : Caractère quantitatif continu 1.                 Compléter le tableau suivant : Tailles Nombre d’élèves(ni) Centre de classe xi Produit ni xi [155; 160[ 2 157,5 [160; 165[ [165; 170[ 4 [170; 175[ 6 [175; 180[ 7 1242,5 [180; 185[ [185; 190[ 3 Total 30 5245 2×157,5 = 315 162,5 2×162,5 = 325 167,5 4×167,5 = 670 172,5 1035 177,5 182,5 1095 187,5 562,5

2. Donner la classe modale [175; 180[ est la classe modale. 3.      Le mode est : 4. Voir tableau 5. Calcul de la moyenne

La médiane est la valeur du caractère étudié c. La médiane La médiane est la valeur du caractère étudié qui partage en deux parties égales l’effectif total. 50 % de l’effectif total 50 % de l’effectif total Effectif correspondant à la médiane de la série

Détermination de la médiane: a.    Dans le cas d’un caractère discret Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série. Exemple : Série de prix de vente PV en € 12 17 21 25 32 40 13 Le prix médian est 25 €.

Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère. Exemples : Nombre d’achats journaliers Nombre 42 56 68 76 84 92 Le nombre d’achats médian est de 72

b. Dans le cas d’un caractère continu Exemple 1. Tableau

Pour déterminer graphiquement la médiane :  2. 3.On trace la courbe des ECC(effectifs cumulés croissants), ou la courbe des ECD (effectifs cumulés décroissants),. 4. On trace la droite horizontale passant par le point d’ordonnée N ÷ 2(la moitié de l’effectif total) 5. L’abscisse du point d’intersection de droite horizontale et du polygone des ECC(ECD) donne la valeur de la médiane. Me = 13,2

Remarque : La même chose est réalisable avec les fréquences (FCC, FCD). Dans ce cas, la médiane est l’abscisse du point d’intersection de la droite horizontale passant par 50% de l’axe des ordonnées, et le polygone ainsi obtenu.

ECC ECC N÷2 = 310

Exemple Reproduire le tableau et le graphique de la page 79 2. Donner par lecture graphique, la médiane de cette série Par lecture graphique, la médiane de cette série est 12,5 3. Donner une interprétation pratique de la médiane La moitié des dépenses est de 12,5 €.

II. Paramètres de dispersion

Etendue d’une série statistique L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère. Act p46. 4. a. e = 35 – 4 = 31 (valeurs lues dans tabp45)

La variance (V) Elle est donnée par l’une des formules suivantes. Dans ces formules: est la moyenne

L'écart type: Il mesure la répartition des valeurs de la variable autour de la moyenne ; Il est égal à la racine carrée de la variance. Écart-type :  lire sigma; avec V : variance Pour calculer l'écart ‑ type, on calcule d'abord la variance V. Puis on calcule l'écart – type σ  par la formule:

V = Exemple de calcul de l’écart type: tab p45 1ère formule: 3 801,2 97,5 et 39 cm

2è formule: 16 983 V = - 18,42 97 39 et 10 cm

Plus il est petit, plus les valeurs du caractère Plus l’écart – type σ est grand, plus les valeurs du caractère sont dispersées autour de la moyenne Plus il est petit, plus les valeurs du caractère sont groupées autour de la moyenne

Exercice 6 p54 Tableau 1

Exercice 6 p54 Tableau 2

Exemples 1. Moyenne et écart type

Tableau 1 8 15 18 11 14 13 79 Classes [2; 4[ [4; 6[ [6; 8[ [8; 10[   Classes Centres xi Effectifs ni Produits ni xi [2; 4[ 8 [4; 6[ 15 [6; 8[ 18 [8; 10[ 11 [10;12[ 14 [12; 14[ 13  79 3 24 216,32 5,2 5 75 3,2 153,6 25,92 7 126 1,2 9 99 0,8 7,04 154 2,8 109,76 11 169 4,8 299,52 13 647 Total 812,16

Paramètres du tableau 1 Calcul de la moyenne: Calcul de la variance: Calcul de l’écart type:

Tableau 2 11 17 20 15 9 7 3 5 7 9 11 13 Classes [2; 4[ [4; 6[ [6; 8[   Classes Centres xi Effectifs ni Produits ni xi [2; 4[ 11 [4; 6[ 17 [6; 8[ 20 [8; 10[ 15 [10; 12[ 9 [12; 14[ 7 33 212,96 4,4 3 5 85 2,4 97,92 7 140 0,4 3,2 1,6 38,4 9 135 11 3,6 116,64 99 13 91 3,6 219,52 79 583 Total 688,64

Paramètres du tableau 2 Calcul de la moyenne: Calcul de la variance: Calcul de l’écart type:

2. Comparaison des 2 séries statistiques Les valeurs de la série 2 sont plus regroupées autour de la moyenne puisque son écart type est plus petit que celui de la série 1.

Exercice d’application

Tableau Longueur en mm [23,0; 23,2[ [23,2; 23,4[ [23,4; 23,6[ [23,6; 23,8[ [23,8 ; 24[ [24,0; 24,2[ Centres xi   Nombre de gélules 2 8 49 29 4 Produits ni xi ni xi2

Calcul de la moyenne: Calcul de l’écart type: Les conditions requises étant remplies, la production sera conservée.

Tableau Polygones des EC

Tableau Polygones des FC

Âge des élèves d’une école de musique Entraînement Âge des élèves d’une école de musique

Tableau

a. Calcul de la moyenne: Ecart type: b. Polygone des ECC Âge médian 21 ans c. 42 élèves ont moins de 18 ans; 20 élèves ont entre 20 et 30 ans.