Séries statistiques à une variable

Détermination de la médiane

1. Dans le cas d’un caractère discret   Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série.    Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère.

Exemples : Donner la valeur médiane de chacune des séries suivantes a)   Série de prix de vente Prix médian = 25 € PV(€) 12 17 21 25 32 40 13

b) Nombre d’achats journaliers Nombre de d’achats 42 56 68 76 84 92 Nombre d’achats médian

2. Cas d’un caractère continu

Exemple 1 1. Tableau Distance en Km Nombre d’entreprises ECC ECD [0 ; 5[ 8 93 [5 ; 10[ 22 30 85 [10 ; 15[ 32 62 63 [15 ; 20[ 18 80 31 [20 ; 25[ 5 13 [25 ; 50[ Total  

2. Polygones des effectifs cumulés 3. Par lecture graphique la médiane est:

Exemple 2 : Plus de la moitié des élèves effectue leur stage à une distance de 12,75 km Exemple 2 :   Classes Effectifs ni Centre des classes xi Produits ni × xi ECC ECD Fréquences (%) FCC [100;140[ 4 120 480 16 25,00 [140;180[ 2 160 320 6 12 12,50 37,50 [180;220[ 200 1200 10 75,00 [220;260[ 240 14 87,50 [260;300[ 280 560 100,00 N =16 3040 100

1. Prix moyen: 190 €

2. Polygones des EC Me = 195

3. Polygones des FCC

Paramètres de dispersion  Variance ·        La variance est donnée par lune des formules suivantes: V = - = Dans cette formule : est la moyenne

  L'écart-type : Il mesure la répartition des valeurs de la variable autour de la moyenne ; Il est égal à la racine carrée de la variance. Écart-type : = : lire sigma; avec V : variance.

= Pour calculer l'écart ‑ type, on calcule d'abord la variance V. Puis on calcule l'écart type   par la formule: = Plus l’écart – type σ est grand, plus les valeurs du caractère sont dispersées autour de la moyenne Plus il est petit, plus les valeurs du caractère sont groupées autour de la moyenne.

Loi normale- courbe de Gauss Si une série statistique se distribue suivant une loi dite normale, sa courbe des effectifs, appelée courbe de Gauss met en évidence que : 68 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle 95 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle   98 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle

Exemples :

1.  Moyenne et écart ‑ type

Tableau 1 Classes [2; 4[ 8 [4; 6[ 15 [6; 8[ 18 [8; 10[ 11 [10; 12[ 14   Classes Centres xi Effectifs ni Produits ni xi [2; 4[ 8 [4; 6[ 15 [6; 8[ 18 [8; 10[ 11 [10; 12[ 14 [12; 14[ 13  79 3 24 216,32 5,2 5 75 3,2 153,6 25,92 7 126 1,2 9 99 0,8 7,04 109,76 154 2,8 11 169 299,52 13 4,8 647 812,16 Total

Calcul de l’écart type: Paramètres du tableau 1 Calcul de la moyenne: Calcul de la variance: Calcul de l’écart type:

Tableau 2 Classes [2; 4[ 11 [4; 6[ 17 [6; 8[ 20 [8; 10[ 15 [10; 12[ 9   Classes Centres xi Effectifs ni Produits ni xi [2; 4[ 11 [4; 6[ 17 [6; 8[ 20 [8; 10[ 15 [10; 12[ 9 [12; 14[ 7 212,96 4,4 3 33 5 85 2,4 97,92 7 140 0,4 3,2 1,6 38,4 9 135 11 3,6 116,64 99 13 91 3,6 219,52 583 79 688,64 Total

Calcul de l’écart type: Paramètres du tableau 2 Calcul de la moyenne: Calcul de la variance: Calcul de l’écart type:

2. Comparaison des 2 séries L’écart type du 2ème tableau étant plus petit, les valeurs de cette série sont mieux réparties par rapport à la 1ère série.

Exercices d’application

Exercice 1: 1. Tableau ni×xi [0; 3[ 5 10,0% 1,5 7,5 50 [3; 6[ 10 20,0%   Classes Effectifs ni Fréquences en % Centres de classes xi ni×xi Effectifs cumulés décroissants Effectifs cumulés croissants [0; 3[ 5 10,0% 1,5 7,5 50 [3; 6[ 10 20,0% 4,5 45 15 [6; 9[ 19 38,0% 142,5 35 34 [9; 12[ 14 28,0% 10,5 147 16 48 [12; 15[ 2 4,0% 13,5 27 Total 100,0% 369

2. Calcul de la moyenne: 3. Nombre de machines ayant nécessité moins de 9 interventions: 5 + 10 + 19 = 34 Nombre de machines ayant nécessité au moins 6 interventions: 2 + 14 + 19 = 35

4. Histogramme

Exercice 2 1) a. Tableau Diamètre en mm nombre de pièces ni   Diamètre en mm nombre de pièces ni centres de classes xi Produit nixi [31,70; 31,80[ 2 31,75 63,5 [31,80; 31,90[ 8 31,85 254,8 [31,9; 32[ 26 31,95 830,7 [32; 32,1[ 30 32,05 961,5 [32,1; 32,2[ 10 32,15 321,5 [32,2; 32,3[ 4 32,25 129 Total N = 80 2561

b. Calcul de la moyenne: mm 2) Dans nos calculs, nous supposons que les diamètres sont uniformément répartis dans les classes, alors que le logiciel prend en compte la répartition réelle. 3) a) Calculs de k1 et k2 b) La maintenance est nécessaire