Terminale STG Activité : Ajustement affine Présentation d’une activité montrant l’utilisation des TICE en terminale STG sous différentes formes pédagogiques Série STG Avril 2006 Académie Nancy-Metz

Objectifs : Introduire la méthode des moindres carrés Faire travailler les élèves sur un tableur Prérequis : Savoir déterminer une équation de droite Savoir représenter un nuage de points Durée : 3 séances d’une heure

Compétences travaillées : Réaliser un ajustement affine par une méthode graphique Réaliser un ajustement affine par les moindres carrés à l’aide d’un tableur et d’une calculatrice Utiliser un tableur : Écrire une formule simple avec un adressage relatif ou absolu et la recopier Utiliser un ajustement pour faire une extrapolation Découvrir d’autres courbes de tendance

Première partie Travail sur papier et sur tableur à l’aide d’un vidéoprojecteur A propos d’un problème du bac, série ES, Amérique du Nord juin 2001. Le but de l’exercice est d’extrapoler le nombre d’utilisateurs du téléphone portable pour le mois de mars 2000.

Le nombre d’utilisateurs de téléphone portable en France est donné par le tableau suivant : Animation : celle-ci se fait à l’aide d’un vidéoprojecteur. Le professeur présente l’activité à l’écran, fait participer les élèves et leur demande de prendre des notes sur le contenu de l’activité et sur les méthodes d’utilisation du tableur.

1. Compléter sur tableur les colonnes B et C du tableau ci-dessous 1. Compléter sur tableur les colonnes B et C du tableau ci-dessous. Quelle formule faut-il écrire dans les cases B9 et C9 pour obtenir le rang moyen et la moyenne du nombre d’utilisateurs  ?

2. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi). Tracer sur ce même graphique une droite (D), d’équation y = ax + b, en choisissant le coefficient directeur a et l’ordonnée à l’origine b de façon à ajuster graphiquement la droite au nuage de points. Déterminer une équation de la droite dessinée.

Les élèves font la représentation du nuage de points et le tracé de la droite d’ajustement sur papier, dans un repère orthonormal, d’unité 0,5cm. Le professeur fait ce même travail à l’aide du tableur, en expliquant aux élèves le procédé, en faisant notamment compléter les cellules F3 et F4 par les coefficients a et b de la droite et les cellules F6 et F7 par les coordonnées de deux points de la droite. TABLEUR Il s’agit ensuite de proposer un « concours » aux élèves : lequel obtiendra la meilleure droite d’ajustement, le critère étant de rendre la «  distance »  totale des points du nuage à la droite minimale. Pour cela on est amené à calculer la somme S =

3. Quelle formule faut-il écrire dans la cellule D2 qui tirée vers le bas effectue les calculs des carrés  ? Quelle formule faut-il écrire dans la cellule D9 pour obtenir la somme S ? TABLEUR Les élèves viennent proposer leur droite d’ajustement. Son tracé est projeté, ainsi que la valeur de S. On obtient ainsi un « record » de la somme S minimale !

4. Le professeur fait ajouter au graphique une « courbe de tendance linéaire » et affiche son équation. On refait le calcul de S pour cette droite, et on fait constater aux élèves que leur record et battu. Il explique que la droite ainsi obtenue est appelée droite d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés. TABLEUR En utilisant la droite obtenue à l’aide du tableur, quel est le nombre d’utilisateurs que l’on pouvait prévoir pour le mois de mars 2000 ?

Deuxième partie Travail sur calculatrice Le professeur explique aux élèves comment on obtient une droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés sur calculatrice. Pour cela il peut distribuer une fiche pour chaque marque de calculatrice présentant la démarche à suivre pour entrer les données et obtenir l’équation de la droite d’ajustement. C’est l’occasion pour le professeur de faire la synthèse de la leçon sur l’ajustement affine.

1. Utiliser la calculatrice pour déterminer l’équation de la droite d’ajustement au nuage de points de la première partie (nombre d’utilisateurs de téléphone portable en France). 2. Comparer avec le résultat obtenu à l’aide du tableur.

Troisième partie Les élèves devant un ordinateur et utilisation du vidéoprojecteur 1. Reprendre sur tableur le tableau ci-joint, représenter le nuage de points et tracer la droite d’ajustement

2. On rappelle que dans la première partie on a utilisé comme modèle d’évolution du nombre d’utilisateurs du téléphone portable la droite d’ajustement affine. On a ainsi prévu que le nombre d’utilisateurs en mars 2000 serait égal à environ 17,7 millions. Or le nombre réel d’utilisateurs en mars 2000 a été de 22,6 millions. Calculer l’écart entre la prévision et la réalité. Cet écart laisse à penser que le modèle affine n’est pas satisfaisant. Nous allons examiner d’autres modèles possibles à l’aide du tableur. Le professeur présente à l’aide du vidéoprojecteur les tracés de courbes de tendance ( linéaire, polynomiale d’ordre 2, exponentielle…) et fait réagir les élèves sur la pertinence des différents modèles pour cet exemple. TABLEUR

Quatrième partie Les élèves devant un ordinateur et utilisation du vidéoprojecteur On se propose maintenant d’analyser la progression du nombre d’utilisateurs du portable à l’aide d’une suite 1. Calculer le taux d’évolution global du nombre d’utilisateurs du téléphone portable en France entre décembre 1996 et mars 2000. En déduire le taux mensuel moyen entre ces deux dates.

2. On considère la suite géométrique u de premier terme u0 = 2,5 et de raison q = 1,05808. a. Quelle formule faut-il écrire en D3 pour calculer les termes un de la suite u en recopiant cette formule vers le bas ? b. Si on considère que le nombre d’utilisateurs du portable en France a évolué au même rythme au-delà du mois de mars 2000, on peut estimer que ce nombre, au mois de rang n, est environ égal au terme un de cette suite.

En utilisant ce modèle d’évolution : Quel est le nombre d’utilisateurs que l’on pouvait prévoir pour le mois de mars 2001 ? TABLEUR A partir de quelle date pouvait-on prévoir plus de 35 millions d’utilisateurs de téléphone portable en France ?

3. Représenter la suite u sur le même graphique que le nuage de points 3. Représenter la suite u sur le même graphique que le nuage de points. TABLEUR Prolongement possible : comparaison des différents modèles d’évolution rencontrés On a représenté avec un grapheur : le nuage de points l’ajustement affine par les moindres carrés la courbe de tendance « polynôme du second degré » la courbe de tendance exponentielle la suite u.

Remarques concernant cette activité : Travail « à la maison » : on peut gagner du temps précieux en cours en faisant réaliser certaines parties de l’activité à la maison. Par exemple la réalisation sur papier du nuage de points, voir la préparation sur tableur Travail sur un modèle : il est important de signaler aux élèves que l’on travaille dans le cadre de modèles Droite d’ajustement : bien préciser le sens de la consigne « ajuster la droite au nuage »

Utilisation de la fonction exponentielle : tout dépend si on a déjà introduit la fonction exponentielle. Si ce n’est pas le cas on se contentera de signaler aux élèves l’existence du modèle exponentiel d’évolution, et cela pourra servir d’introduction aux fonctions exp. Point moyen : on fera remarquer que la droite d’ajustement obtenue par le tableur passe par le point moyen. Fiche élèves Fiche professeur